अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के बारे में अधिक जानकारी

एक का विचार अनंत श्रृंखला पहली बार में चौंकाने वाली हो सकती है। यह जटिल नहीं होना चाहिए जब हम समझते हैं कि एक श्रृंखला से हमारा क्या मतलब है।

एक अनंत श्रृंखला एक अनंत योग के अलावा और कुछ नहीं है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास संख्याओं का एक अनंत सेट है, जैसे \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), और इन शब्दों को जोड़ देंगे, जैसे:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

लेकिन चूंकि यह स्पष्ट करने के लिए कि हम अनंत शब्दों का योग कर रहे हैं, उपरोक्त व्यंजक लिखना कठिन हो सकता है, हम अंकन का उपयोग करते हैं, जैसा कि हमेशा गणित में होता है। एक अनंत श्रृंखला इस प्रकार लिखी जाती है:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

जो हमारे मतलब को व्यक्त करने का एक अधिक कॉम्पैक्ट, स्पष्ट तरीका है। लेकिन फिर भी, अनंत राशि का विचार एक तरह से भ्रमित करने वाला है। अनंत योग से हमारा क्या तात्पर्य है?

यह एक अच्छा प्रश्न है: अनंत शब्दों के योग के विचार में एक निश्चित शब्द \(N\) को जोड़ना और फिर इस मान \(N\) को अनंत तक धकेलना शामिल है। तो ठीक है, एक अनंत श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

तो वास्तव में, उपरोक्त एक अनंत श्रृंखला के योग की औपचारिक परिभाषा है।

एक ज्यामितीय श्रृंखला के बारे में क्या खास है

सामान्य तौर पर, एक अनंत श्रृंखला निर्दिष्ट करने के लिए, आपको अनंत शब्दों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। ज्यामितीय श्रृंखला के मामले में, आपको केवल पहला पद \(a\) और स्थिर अनुपात \(r\) निर्दिष्ट करना होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम का सामान्य n-वाँ पद \(a_n = a r^{n-1}\) है, तो ज्यामितीय श्रृंखला बन जाती है

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि उपरोक्त श्रृंखला अभिसरण करती है यदि और केवल यदि \(|r| < 1\)। उस स्थिति में, योग के लिए ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र है

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, हम ज्यामितीय श्रृंखला \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\) के योग की गणना कर सकते हैं। इस मामले में, पहला पद \(a = 1\) है, और स्थिर अनुपात \(r = \frac{1}{2}\) है। तो, योग की गणना सीधे इस प्रकार की जाती है:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

श्रृंखला के साथ क्या होता है \(|r| > 1\)

संक्षिप्त उत्तर: श्रृंखला विचलन करती है। शब्द बहुत बड़े हो जाते हैं, जैसा कि ज्यामितीय वृद्धि के साथ होता है, यदि \(|r| > 1\) अनुक्रम में शब्द बहुत बड़े हो जाएंगे और अनंत में परिवर्तित हो जाएंगे।

क्या होगा अगर योग अनंत नहीं है

उस स्थिति में, आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है ज्यामितीय अनुक्रम योग कैलकुलेटर , जिसमें आप सीमित संख्या में शब्द जोड़ते हैं।