64 का वर्गमूल क्या है?
कभी-कभी एक साधारण सवाल 64 के वर्ग रूट के बारे में एक जवाब है जो कुछ भ्रमित कर सकता है।इस मामले में, हम कुछ मिथकों को दूर करेंगे।
इस ट्यूटोरियल में मुख्य उद्देश्य स्क्वायर जड़ों और कट्टरपंथियों के बारे में कुछ चीजों को सीखना है, ताकि आप बिना किसी हिचकिचाहट के इसके बारे में सवालों का जवाब दे सकें।
पहली बात पहले है।आइए स्क्वायर रूट की परिभाषा को देखें:
किसी दिए गए नंबर का वर्गमूल है सकारात्मक संख्या (या शून्य) ताकि जब उस संख्या में वर्ग का परिणाम हो ।
यही वह है।तो, एक संख्या \(x\) दिया गया, इसका वर्ग रूट एक संख्या \(b\) है ताकि \(b \ge 0\) और
\[b^2 = x\]उपर्युक्त अभिव्यक्ति को देखकर, हम देख सकते हैं कि यदि \(b\) \(x\) का वर्ग रूट होने जा रहा है, तो \(x = b^2\), और चूंकि एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है, \(x\) केवल गैर-नकारात्मक हो सकता है (यदि हम सक्षम होना चाहते हैं (यदि हम सक्षम होना चाहते हैं (यदि हम सक्षम होना चाहते हैंइसके वर्ग रूट का पता लगाएं)।
निष्कर्ष : हम केवल गैर-ऋणात्मक मूल्यों की वर्ग जड़ों की गणना कर सकते हैं \(x\)।या अलग से कहा, सामारोह का डोमेन \(\sqrt x\) \([0,+\infty)\) है।
तो फिर, हमारे प्रारंभिक प्रश्न का उत्तर देना:
64 का वर्गमूल क्या है?
हमने जो परिभाषित किया, उसके आधार पर, हमें एक गैर-ऋणात्मक मान \(b\) को खोजने की आवश्यकता है ताकि \(b^2 = 64\)।उन संपत्तियों को पूरा करने वाली कोई भी संख्या ध्यान में आती है?
खैर, हाँ, अगर हमने \(b = 8\) के साथ कोशिश की तो क्या होगा?ठीक है, तो \(b = 8\) गैर-नकारात्मक है, और \(b^2 = 8^2 = 64\) है।
तो फिर, हमने 64 का वर्गमूल पाया है, जो 8 है, क्योंकि 8 गैर-नकारात्मक है, और \(8^2 = 64\)।हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
\[ \sqrt{64} = 8 \]वर्ग रूट समारोह के बारे में मिथक
अब हम इस विषय पर जाते हैं जिसने इस ट्यूटोरियल को प्रेरित किया ... वर्ग रूट की दी गई उपरोक्त परिभाषा हमें सामान्य बयान को त्यागने की अनुमति देती है कि "64 का वर्ग रूट प्लस या शून्य 8" है, जो गलत है।वास्तव में
\[\sqrt{64} =\not \pm 8\]अब, हम समझ सकते हैं कि इस तरह की मिथक क्यों चलती है।दरअसल, 8 और -8 दोनों में संपत्ति है जो \(8^2 = 64\) और \((-8)^2 = 64\) है।तो फिर, क्यों -8 64 का वर्ग रूट नहीं है?
क्योंकि परिभाषा के अनुसार, हमने कहा था कि वर्ग रूट को उस गैर-ऋणात्मक संख्या की आवश्यकता होती है जिसमें संपत्ति होती है जब वे वर्ग के बराबर संख्या के बराबर होते हैं।और -8 गैर-नकारात्मक होने की स्थिति में विफल रहता है।
वर्ग रूट समारोह का ग्राफ
नीचे दिए गए वर्ग रूट फ़ंक्शन का ग्राफ देखें:
जैसा कि आप देख सकते हैं, वह फ़ंक्शन केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है, और यह वास्तव में लंबवत रेखा परीक्षण पास करता है, इसलिए यह एक समारोह है।
तो अंत में, गैर-ऋणात्मक \(b\) के रूप में वर्ग रूट की परिभाषा ताकि \(b^2 = x\) वर्ग को एक समारोह बनाता है।
यदि वास्तव में हमारे पास \(\sqrt{64} = \pm 8\) था, तो \(\sqrt x\) एक फ़ंक्शन नहीं होगा, इसके बजाय एक रिश्ता होगा, क्योंकि \(x = 64\) पर लंबवत रेखा ग्राफ को दो बार (8 और -8 पर) पार करेगी।
अन्य कट्टरपंथी कार्यों के बारे में क्या?
अन्य प्रकार के कट्टरपंथी कार्य हैं।उदाहरण के लिए, घन रूट \(\sqrt[3] x\)।इस मामले में, किस प्रकार से चुनने के लिए एक नियम बनाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि किसी दिए गए नंबर \(x\) की घन रूट संख्या \(b\) है तो \(b^3 = x\)।
घन जड़
घन रूट मामले के लिए, भेदभाव करने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि किसी दिए गए \(x\) के लिए केवल एक संख्या \(b\) होगा जैसे \(b^3 = x\)।
उदाहरण के लिए
\[\sqrt[3]{64} = 4\]बस क्योंकि \(4^3 = 64\)।या
\[\sqrt[3]{-64} = -4\]बस क्योंकि \((-4)^3 = -64\)।यह है, वर्ग रूट के मामले में कोई अस्पष्टता नहीं है।
क्वार्टर रूट
क्वार्टिक रूट केस के लिए, यह वर्ग रूट के समान है।हमारे पास \(\sqrt[4] x = b\) यदि \(b \ge 0\) और \(b^4 = x\) होगा।
उदाहरण के लिए
\[\sqrt[4]{16} = 2\]क्योंकि \(2^4 = 16\) और \(2 \ge 0\)।परंतु
\[\sqrt[4]{16} =\not -2\]क्योंकि \((-2)^4 = -16\), हमारे पास \(-2 < 0\) है तो गैर-नकारात्मक स्थिति को पूरा नहीं किया जाता है।
सामान्य रूप से एन-वें रूट \(\sqrt[n] x\) के बारे में कैसे ???
मुझे यकीन है कि आपने अनुमान लगाया है।
\(n\) के लिए भी, स्थिति वर्ग रूट की तरह है: \(\sqrt[n] x = b\) अगर \(b \ge 0\) और \(b^n = x\)।
\(n\) अजीब के लिए, स्थिति वर्ग रूट की तरह है: \(\sqrt[n] x = b\) अगर \(b^n = x\)।
वर्गमूल की गणना के बारे में अधिक जानकारी
एक बात हमने जोर दिया कि वर्गम रूट फ़ंक्शन \(\sqrt x\) को गैर-नकारात्मक तर्क \(x\) लेने की आवश्यकता है यदि हम वर्गमूल की गणना करने में सक्षम होना चाहते हैं।
हमने वहां थोड़ा सा धोखा दिया, क्योंकि हमने पूर्ण वाक्य नहीं लिखा: वर्ग रूट फ़ंक्शन \(\sqrt x\) को एक गैर-नकारात्मक तर्क \(x\) लेने की आवश्यकता है यदि हम वास्तविक रेखा में वर्ग रूट की गणना करने में सक्षम होना चाहते हैं।
लेकिन, अगर \(x < 0\), यह है, अगर \(x\) नकारात्मक है, तो \(\sqrt x\) अभी भी परिभाषित किया गया है, लेकिन एक वास्तविक संख्या के रूप में नहीं बल्कि एक जटिल संख्या के रूप में।
जटिल वर्ग रूट की मूल इकाई -1 का वर्ग रूट है।\(\sqrt{-1}\) क्या है ???
जटिल संख्या दर्ज करें: एक जटिल संख्या है, जिसे \(i\) कहा जाता है
\[\sqrt{-1} = i \]उस बिंदु से, वर्ग रूट के गुण सभी समान काम करते हैं।उदाहरण के लिए:
\[\sqrt{-4} = \sqrt{4} \sqrt{-1} = 2\sqrt{-1} = 2i \]