الجبر دروس

تسلسل هندسي

أ الفتوز سلمسالي هو سلسلة من الأرقام التي لديها خاصية أن النسبة بين عنصرين متتاليين ثابتة , تساوي قيمة معينة \(r\).تُعرف هذه القيمة أيضًا بالنسبة المشتركة.

في مشكلة الحياة الحقيقية , ستحصل على قيمة أولية \(a\), والنسبة الثابتة \(r\)التي يتم الحفاظ عليها بين القيم المتتالية في التسلسل.ستكون مهمتك ح ساسب الفتاة باستخدام هذه المعلومات المعطاة.

كيف يمكنني حل تسلسل هندسي؟

افترض أن المصطلح الأول هو \(a\).بعد ذلك , المصطلح التالي هو \(a r\), والآخر هو \(ar^2\).وما إلى ذلك وهلم جرا.

لذلك , وبعبارة أخرى , نبدأ بالمصطلح الأول \(a\), ويتم العثور على المصطلح التالي دائمًا عن طريق ضرب المصطلح السابق بواسطة \(r\).

لذلك المصطلح الأول هو \(a_1 = a\).

المصطلح الثاني هو \(a_2 = a r\).

المصطلح الثالث هو \(a_3 = a r^2\).

صيغة التسلسل الهندسي

من خلال النظر إلى المثال أعلاه , فإن ما يحدث هو أن القيمة الأولية \(a\) مضروبة في \(r\) في كل خطوة.لذلك , الجنرال ن ^العاشر المصطلح

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

هذا يعني أنه بعد المضي قدمًا في خطوات \(n\), نحصل على أن الرقم المقابل في التسلسل هو \( a_n = a r^{n-1}\).هذه هي صيغة نمط السلسلة الهندسية , وكل ما تحتاجه هو توصيل قيم \(a\) و \(n\) في الصيغة.

لذا , كيف تجد المصطلح التاسع في تسلسل هندسي؟

تلخيصًا , من أجل العثور على المصطلح التاسع في تسلسل هندسي , تحتاج إلى قطعتين من المعلومات لتحديد تسلسل هندسي: تحتاج إلى المصطلح الأولي \(a\), والنسبة الثابتة \(r\).

بعد ذلك , يتم الحصول على الشروط المتتالية للتسلسل الهندسي عن طريق ضرب المصطلح السابق بواسطة \(r\).على سبيل المثال , 3 , 6 , 12 , 24 , ... هو تسلسل هندسي لأن القيمة الأولية هي \(a = 3\)ثم يتم الحصول على كل قيمة لاحقة عن طريق ضرب القيمة السابقة بواسطة \(r = 2\).

أيضًا , على سبيل المثال , يمكنك أن تسأل نفسك ما هي القاعدة لـ 1 2 4 8 16 , وما إذا كان التسلسل الهندسي.حسنًا , لدينا أن القيمة الأولية هي \(a = 1\), ويتم الحصول على كل قيمة التالية عن طريق ضرب القيمة السابقة بواسطة \(r = 2\).

mثal 1: mثal ablى ttsalsl hendosy

ابحث عن المصطلح السادس للتسلسل الهندسي مع المصطلح الأولي \(10\), و \(r = 1/2\).

إجابه:

لذا , كيف حالك ساسب تسلسل هندسي ؟بناءً على المعلومات المقدمة , لدينا معلومات كافية لتحديد التسلسل الهندسي.في الواقع , لدينا المصطلح الأول \(a = 10\), ولدينا نسبة ثابتة \(r = 1/2\).

الجنرال ن ^العاشر المصطلح

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

إذن 6 ^العاشر المصطلح

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

هل يمكن أن تكون النسبة المشتركة سلبية؟

نعم بالتاكيد.يمكن أن تكون النسبة الثابتة \(r\) سلبية.على سبيل المثال , يمكن أن يكون لدينا تسلسل هندسي مع المصطلح الأولي \(a_1 = 1\)ونسبة ثابتة \(r = -2\).إذن , المصطلح الثاني هو \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\), وهكذا.

لذلك , إنها نفس القاعدة بالضبط: من أجل المصطلح التالي , نضاعف المصطلح السابق من خلال النسبة الثابتة \(r\), حتى لو كانت النسبة الثابتة سلبية.

مايل 2

ابحث عن المصطلح الخامس للتسلسل الهندسي مع المصطلح الأولي \(3\), و \(r = -2\).

إجابه:

لدينا معلومات كافية لتحديد التسلسل الهندسي , لأن لدينا المصطلح الأول \(a_1 = 3\), ولدينا نسبة ثابتة \(r = -2\).

الجنرال ن ^العاشر المصطلح (مع نسبة ثابتة سلبية) هو

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

إذن 5 ^العاشر المصطلح

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

يمكنك استخدامنا حASBة للتحقق من ما وجدته أعلاه , وهو آلة حاسبة صريحة صريحة.

مال 3

النظر في التسلسل 1 , 1/2 , 1/4 , 1/16 , ... هل هذا التسلسل الهندسي؟

إجابه:

من أجل أن يكون تسلسل معين هندسي , تحتاج المصطلحات إلى نسبة مشتركة.في هذه الحالة , قسمة الفصل الدراسي الثاني على المصطلح الأول , نحصل على \((1/2)/1 = 1/2\).

ثم , إذا قمنا بتقسيم الجزء الثالث على المدة الثانية: \((1/4)/(1/2) = 1/2\).حتى الان جيدة جدا.

الآن , إذا قمنا بتقسيم الرابع على الفترة الثالثة: \((1/16)/(1/4) = 1/4\).فشل.إنها ليست سلسلة هندسية , لأنها لا تحتوي على نسبة شائعة (النسبة هي 1/2 للمصطلح الأولين , ولكن بعد ذلك 1/4 , لذلك ليست ثابتة).

وبالتالي , فإن التسلسل ليس تسلسل هندسي.