حاسبة عدم المساواة ماركوف

تنص عدم مساواة ماركوف على أنه بالنسبة للقيمة \(a > 0\) , لدينا لأي متغير عشوائي \(X\) لا يأخذ أي قيم سالبة , يتم دائمًا ملاحظة الحد الأعلى التالي:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

إن عدم مساواة ماركوف مهمة جدًا لتقدير الاحتمالات , مع مراعاة عموميتها بمعنى أنها تنطبق على أي متغير عشوائي غير سلبي \(X\).

في الواقع , إن عدم المساواة عند ماركوف أمر بالغ الأهمية لإثبات عدم المساواة المستخدمة على نطاق واسع , وهي عدم المساواة في Chebyshev , وهو الأساس لتفاوت أكثر حدة , وهو عدم المساواة في Hoeffding.

حدس ماركوف لعدم المساواة

ما هو الحدس وراء عدم المساواة ماركوف؟ حسنًا , أولاً , هناك عامل واضح وهو أن الاحتمال على الذيل الأيمن له حد أعلى يتناقص أكثر فأكثر كلما حصلنا على ذيل أيمن أبعد , وهو أمر واضح حقًا.

لاحظ طبيعة المتباينة , وهي أن \(\frac{E(X)}{a}\) ليست القيمة الدقيقة لاحتمالية الذيل , ولكنها مجرد حد أعلى. ما مدى قرب هذا ملزم؟ حسنًا , نحن نعلم الآن أن ذلك يعتمد على التوزيع الفعلي , ولكن مع ذلك توجد تفاوتات أكثر حدة مثل عدم المساواة في Hoeffding.

ومع ذلك , هناك قاعدة واضحة جدًا في الرياضيات: كلما كانت الافتراضات أكثر عمومية (أقل تحديدًا) , كانت النظرية أضعف. لذلك , إنه لأمر رائع جدًا وجود عدم مساواة ماركوف بالنظر إلى الطبيعة العامة جدًا لافتراضاته.

على سبيل المثال , ملف حكم التجريبية هو تفاوت أكثر إحكامًا , لكنه يقدم افتراضًا أقوى بكثير: أن التوزيع الأساسي طبيعي. تعمل متباينة ماركوف مع أي توزيع (لمتغير غير سلبي)