القيمة المطلقة
تتوافق القيمة المطلقة لرقم ما مع حجمه , دون النظر إلى علامته , إذا كانت موجودة. هندسيًا , يتوافق مع مسافة النقطة \(x\) إلى الأصل \(0\) , على الخط الحقيقي
رياضياً , يتم تمثيل القيمة المطلقة لرقم \(x\) كـ \(|x|\).
نظرًا للطبيعة الهندسية لتفسيرها , تُستخدم القيمة المطلقة على نطاق واسع في الجبر وفروع الرياضيات الأخرى , واتضح أنه من السهل جدًا حساب القيمة المطلقة لرقم معين: كل ما عليك فعله هو إسقاط علامة , إذا كان هناك علامة.
مثال 1
احسب القيمة المطلقة لـ \(-8\).
إجابه:
كما ذكرنا أعلاه , فإن القيمة المطلقة لرقم ما هي حجمه , دون أخذ الإشارة في الاعتبار. في هذه الحالة , بإسقاط الإشارة , ندرك أن القيمة المطلقة لـ \(-8\) هي \(8\). رياضيا , نكتب \(|-8| = 8\).
مثال 2
احسب القيمة المطلقة لـ \(4\).
إجابه:
نحن نعلم أن القيمة المطلقة لرقم ما هي حجمه , دون مراعاة الإشارة. في هذه الحالة , لا توجد علامة لإسقاطها , لذا تأكد من أن القيمة المطلقة لـ \(4\) هي ببساطة \(4\). لذا , رياضيا , نكتب \(|4| = 4\).
التعريف الرياضي للقيمة المطلقة
فكرة "إسقاط العلامة" ستكون كافية إذا كان كل ما نفعله هو حساب القيمة المطلقة للأرقام. لكننا في الواقع نقوم بمزيد من الأشياء , والتي تكون أكثر تعقيدًا بعض الشيء , مثل معادلات القيمة المطلقة والمتباينات.
رياضيا , التعريف الرسمي لـ \(|x|\) يرد أدناه.
\ [| x | = \ left \ {\ start {array} {cc} x \ text {} & \ , \ , \ , \ text {for} x \ ge 0 \\ \\ -x & \ , \ , \ نص {for} x <0 \\ \ end {array} \ right. \]دون ذعر , دعونا نحلل التعريف أعلاه. إنه يقول ببساطة: "تحقق من الرقم المحدد \(x\). إذا كان \(x\) أكبر من أو يساوي الصفر , فستكون القيمة المطلقة للرقم هي الرقم نفسه. وإلا , إذا كان الرقم المحدد \(x\) سالبًا , تكون القيمة المطلقة للرقم \(-x\) , وهو ما يتوافق مع ضرب الرقم الأصلي المحدد في \(-1\).
إذن , في حالة \(-8\) , هذا العدد من السالب , لذلك يتم الحصول على القيمة المطلقة بضربها في \(-1\) , لذلك نحصل على \(|-8|\) = (-1) \ مرات (-8) = 8. هذا كل شيء.
الآن , قد يبدو هذا التعريف وكأنه مبالغة. بعد كل شيء , لماذا لا تتمسك بطريقة "إسقاط اللافتة"؟ هناك سبب لذلك , والسبب ببساطة هو أن طريقة تحديد القيمة المطلقة هذه تساعدنا في التعامل مع المواقف الصعبة التي تنطوي على قيمة مطلقة.
على سبيل المثال , إذا طلبت منك حل مشكلة عدم المساواة التالية: \(|x^2-4x+10| \ge 0\) , فهل ستتمكن من "إسقاط العلامة" لتقليلها؟ ليس تماما. لا تقلق , نحن نناقش التفاوتات التي تنطوي على قيم مطلقة في درس آخر.
أردت فقط توضيح سبب قيامنا بالعمل لوضع تعريف رسمي للقيمة المطلقة , وذلك لأننا سنحتاجه في مرحلة ما , عندما نتعامل مع عمليات أكثر تعقيدًا تتضمن قيمًا مطلقة.
خواص القيمة المطلقة
هذه هي الخصائص الرئيسية:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\) , للأرقام الحقيقية \(a\) و \(b\)
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\) , للأرقام الحقيقية \(a\) و \(b\)
مغالطة الجذر التربيعي للمربع
أخيرًا , أود أن أعطي الفضل للقيمة المطلقة لمرجع مفقود. نعم , إنها تستحق التقدير. في الواقع , غالبًا ما نرى في المدرسة الثانوية أو حتى في الكلية عبارة موحلة مثل:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]ببيان يقول أن "الجذر التربيعي يلغي المربع". لن أقول إن هذا خطأ , لكنني سأقول إنه صحيح عندما يكون \(x\) غير سالب. البيان الصحيح سيكون
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]وهناك لديك أحد المظاهر النجمية للقيمة المطلقة. بمرور الوقت ستدرك أنه يظهر بشكل متكرر أكثر مما تعتقد.
المزيد عن القيمة المطلقة
القيمة المطلقة هي مفهوم بسيط , وهي مفيدة حقًا , لأنها تحتوي على تفسير هندسي واضح في الخط الحقيقي: إنها تمثل مسافة أي نقطة إلى الأصل.
على الرغم من أنه من السهل حسابها لرقم ما , إلا أن هناك عمليات أكثر تعقيدًا تتضمن قيمًا مطلقة , مثل معادلات القيمة المطلقة والمتباينات. هذه تتطلب استراتيجية واضحة ليتم حلها , وإلا ستتعثر.
كيف تجد القيمة المطلقة؟
عادة ليس من الصعب العثور على القيمة المطلقة لرقم معين: كل ما عليك فعله هو الحصول على حجم الرقم , دون التفكير في الإشارة. بمعنى آخر , ولجعل الأمر بسيطًا , ما عليك سوى معرفة ما إذا كانت هناك علامة وإفلاتها.
يكون الإجراء أقل وضوحًا عند حساب القيمة المطلقة لتعبير جبري , وفي هذه الحالة تحتاج أولاً إلى تقليل التعبير إلى رقم , ثم إسقاط أي علامة إذا كان يحتوي عليها.
تطبيقات القيمة المطلقة
يتجاوز استخدام القيمة المطلقة مجرد حساب القيمة المطلقة للأرقام. للقيمة المطلقة بعض الخصائص الجوهرية التي تجعلها أداة تحليلية لا تقدر بثمن.
على سبيل المثال , تظهر القيمة المطلقة بشكل متكرر في العديد من المواقف , على سبيل المثال لـ \(\sqrt{x^2} = |x|\) , والتي عادة ما يتم أخذها كأمر مسلم به , حيث سيستخدم معظم الأشخاص \(\sqrt{x^2} = x\) , وهو أمر غير صحيح عندما تكون \(x\) سلبية.
تظهر القيمة المطلقة أيضًا في الهندسة (لأن القيمة المطلقة للفرق تمثل المسافة بين نقطتين) , في التكامل وعندما نحتاج إلى الحل عدم المساواة في القيمة المطلقة .
أيضا , يمكنك استخدام هذا حاسبة القيمة المطلقة لممارسة المفاهيم التي تم تعلمها في هذا البرنامج التعليمي. أو لمزيد من الحسابات العامة , يمكنك استخدام هذا آلة حاسبة تعبير جبري .