قواعد التسجيل
تعد الوظيفة اللوغاريتمية واحدة من أهم الوظائف في الرياضيات , وقواعد السجل بسيطة ومريحة , مما يجعل من السهل حقًا التعامل مع اللوغاريتمات.
دعونا نتذكر أولاً ما معنى \(\log_b a\). في هذا السياق , القيمة \(b\) هي يتمركز من اللوغاريتم , و \(a\) هو ملف جدال .
نقول أن \(\log_b a = y\) عندما \(b^y = a\). هذا يعني أن \(\log_b a\) هو الرقم الذي يجب رفع \(b\) (الأساس) للحصول على \(a\) (الوسيطة).
على سبيل المثال , \(\log_{10} 25\) يتوافق مع الرقم الذي أحتاج إلى رفع 10 إليه , للحصول على 25. لذا فإن اللوغاريتم الذي أبحث عنه هو الرقم \(y\) الذي يحتوي على الخاصية التي \(10^y = 25\)
الآن السؤال هو , كيف نحسب هذا الرقم \(y\) الذي له الخاصية \(10^y = 25\)؟ حسنًا , هذا الرقم محدد جيدًا , وتهتم به الدالة اللوغاريتمية \(f(x) = \log_{10} x\). هذه الوظيفة ليست وظيفة أولية , وهناك حاجة لسلسلة تايلور (سلسلة لانهائية) لتمثيلها.
أو يمكنك استخدام آلة حاسبة (ربما تكون أسهل , أليس كذلك؟).
قواعد اللوغاريتمات: خصائص اللوغاريتمات
هذه هي قواعد السجل الرئيسية:
قاعدة 1 : \(\large \log_a (b\cdot c) = \log_a (b)+ \log_a (c) \)
القاعدة # 2 : \(\large \displaystyle \log_a \frac{b}{c} = \log_a (b) - \log_a (c) \)
القاعدة # 3 : \(\large \log_a (b^c) = c \cdot \log_a (b) \)
القاعدة # 4 : \(\large \log_a (a) = 1 \)
القاعدة # 5 : \(\large \log_a (1) = 0 \)
___ PHP___5مثال 1
بسّط \(\log_2 8 + \log_2 4\) باستخدام قواعد السجل:
إجابه:
باستخدام القاعدة رقم 1 , نجد ما يلي:
\[ \log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5\]لذا , فإن الخطوة الأولى هي تطبيق بسيط للقاعدة رقم 1 , ولكن كيف نحصل على ذلك \(\log_2 32 = 5\)؟ هذا بسبب \(2^5 = 32\) , لذلك في هذه الحالة نجد مباشرةً الرقم الذي تحتاج إلى رفعه \(2\) من أجل الحصول على \(32\).
ستحتاج معظم اللوغاريتمات إلى آلة حاسبة لحسابها. ما هو إلا عدد قليل محدد يمكنك حسابه مباشرة. أشياء مثل \(\log_{10} 100 = 2\) , لأنك تعرف بسهولة أن \(10^2 = 100\).
ولكن , هل يمكنك حساب \(\log_{10} 102\) مباشرة؟ ليس حقًا , فأنت بحاجة إلى آلة حاسبة لذلك.
مثال 2
عبر عن مجموع وطرح اللوغاريتمات: \( \displaystyle \log_{10} \sqrt[3]{\frac{a}{6bc}} \).
إجابه:
بادئ ذي بدء , علينا أن نتذكر أن أخذ الجذر التكعيبي هو رفع للقوة \(1/3\). بمعنى آخر , \(\sqrt[3]{x}\) هو نفسه \(x^{1/3}\).
بعد ذلك , نستخدم القاعدة رقم 3 أولاً لإحضار القوة أمام اللوغاريتم , ثم نستخدم القاعدتين # 1 و # 2. نحن نحصل:
\[ \displaystyle \log_{10} \sqrt[3]{\frac{a}{6bc}} \] \[= \displaystyle \log_{10} \left({\frac{a}{6bc}}\right)^{1/3} \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \log_{10} \frac{a}{6bc} \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \left( \log_{10} a - \log_{10} (6bc) \right) \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \left( \log_{10} a - \log_{10} 6 - \log_{10} b - \log_{10} c \right) \]وهو المطلوب: مجموع وطرح اللوغاريتمات البسيطة.
تغيير الصيغة الأساسية للوغاريتمات
واحدة من أكثر الصيغ فائدة فيما يتعلق باللوغاريتمات هو تغيير الصيغة الأساسية. هذه الصيغة تسير على النحو التالي:
\[ \large \displaystyle \log_c a = \frac{\log_b a}{\log_b c}\]هذه الصيغة تقول فقط أنه إذا كنت تريد تغيير الأساس من \(b\) إلى \(c\) , فإن النتائج هي نفسها بشكل أساسي , ولكن عليك القسمة على لوغاريتم القاعدة الجديدة.
الآن , إذا كنت مهتماً فنياً , يمكنك الاستمتاع بالشكل البديل لتغيير الصيغة الأساسية المعبر عنها أدناه:
مثال 3
عبر عن السجل الطبيعي \(\ln\) من حيث \(\log\) (الأساس 10).
إجابه:
باستخدام تغيير الصيغة الأساسية , نحصل على ما يلي:
\[ \large \displaystyle \ln a = \log_e a = \frac{\log_{10} a}{\log_{10} e} =\frac{\log a}{\log e} \]إذن أنت تقول أن \(\ln a\) يتم الحصول عليها بقسمة \(\log a\) على \(\log e\). كيف مريحة؟ من قال أن الرياضيات كانت صعبة , أليس كذلك؟
المزيد حول قواعد الدخول
اللوغاريتمات مهمة حقًا في الرياضيات. تاريخيًا , تلعب اللوغاريتمات دورًا مهمًا للغاية في علم الفلك , كطريقة للتنبؤ بحركة القمر والكواكب.
تقع الدوال اللوغاريتمية في منتصف كل شيء في الرياضيات , وتتشابك مع الأسي والأسس وكل شيء تقريبًا. لهذا يطلبون منك أن تتعلم اللوغاريتمات عن ظهر قلب , لأنها مهمة.
أيضًا , تلعب قواعد السجل المعروضة هنا دورًا مهمًا في تسهيل حل المعادلات اللوغاريتمية .
اتفاقيات التدوين
هناك نوعان من اصطلاحات الترميز التي تحتاج إلى معرفتها. بشكل عام , نكتب \(\log_b a\) , ونقولها "log base b of a". عندما تكون القاعدة \(b = 10\) , نكتب فقط \(\log a\) حسب الاصطلاح. لذلك عندما ترى \(\log\) بدون قاعدة , فمن المفترض أن الأساس هو \(10\).
هناك حالة أخرى ملحوظة. بالنسبة إلى \(\log_b a\) , عندما تكون القاعدة \(b = e\) (ثابت أويلر) , نكتب \(\ln a\) بدلاً من \(\log_e a\). لذلك , عند استخدام \(\ln\) بدلاً من \(\log\) , فذلك لأن أساس اللوغاريتم هو \(e\).
لاحظ أن \(\ln a\) يشار إليه عادةً باسم السجل الطبيعي . ونعم , جذوع الأشجار الطبيعية لها نفس قواعد السجل العام.
إذا كانت لديك دالة لوغاريتمية ترغب في رسمها , يمكنك تجربة صانع الرسم البياني للوظيفة اللوغاريتمية , والتي ستزودك برسم بياني معروض بدقة.