صيغة الاضمحلال الأسي
تعتبر معادلة الانحلال الأسي مفيدة للغاية وتظهر في العديد من التطبيقات في الممارسة العملية , بما في ذلك نمذجة الاضمحلال الإشعاعي.
هدفنا الرئيسي في هذا البرنامج التعليمي هو التعرف على معادلة الانحلال الأسي , ومتى يتم تطبيقها وكيفية التعامل مع معلماتها.
يتحدث جبريًا , أ تسوس الأسي التعبير هو أي تعبير عن النموذج
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]حيث \(k\) هو رقم حقيقي مثل \(k > 0\) , وأيضًا \(A\) هو رقم حقيقي مثل \(A > 0\).
عادةً ما تسمى المعلمة \(A\) بامتداد القيمة البدائية , والمعلمة \(k\) تسمى ثابت الاضمحلال أو معدل الاضمحلال .
على سبيل المثال
\[\large f(x) = e^{-x} \]و
\[\large g(x) = e^{-2x} \]كلاهما يتوافق مع وظائف مع الاضمحلال الأسي.
كيف تبدو هذه الوظائف مع الاضمحلال الأسي بشكل رسومي؟ تحقق من ذلك أدناه:
شيء واحد يمكننا ملاحظته هو أن كلا الوظيفتين تتلاشى بسرعة.
ماذا نعني بـ DECAY ؟؟؟ تتحلل , بمعنى أنها تقترب بسرعة من الصفر حيث يصبح \(x\) أكبر وأكبر (\(x \to +\infty\)).
في الواقع , كلتا الوظيفتين بعد القول \(x > 4\) صغيرة جدًا (الرسم البياني يلمس المحور ص تقريبًا).
أيضًا , إذا انتبهنا , فإننا ندرك أن \(e^{-2x}\) يتحلل أسرع من \(e^{-x}\).
سؤال :
هل الوظيفة أدناه:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]لديها الاضمحلال الأسي ؟؟؟
الجواب نعم.
على الرغم من أنك قد تفكر في البداية: "حسنًا , هذا ليس تدهورًا أسيًا , لأنني لا أرى '\(e\)' في أي مكان ...". لذلك , هذا شديد الانتباه.
لكن لا تنس أنه يمكننا الكتابة
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]إذن الوظيفة
\[\large f(x) = 2^{-x}\]يمكن إعادة كتابتها كـ
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]يثبت الحساب أعلاه (سعال , سعال , آسف , أعلم أنك لا تحب هذه الكلمة) أن \(2^{-x}\) دالة ذات تسوس أسي مع ثابت تسوس \(k = \ln 2\).
مثال 1:
أوجد القيمة الأولية ومعدل الاضمحلال للدالة التالية:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]إجابه:
بناءً على الوظيفة المحددة , نحصل مباشرة على أن القيمة الأولية في هذه الحالة هي \(A = 3\) ومعدل الانحلال هو \(k = -4\).
المثال 2:
حدد ما إذا كان التعبير أدناه يحتوي على تسوس أسي , وإذا كان الأمر كذلك , فابحث عن قيمته الأولية ومعدل الانحلال:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]إجابه:
لاحظ أننا لا نرى '\(e\) مباشرة في التعبير , ولكن , لا تنس أنه يمكننا الكتابة
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]إذن الوظيفة
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]يمكن إعادة كتابتها كـ
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]لذلك , هذه دالة ذات تسوس أسي , ومعلماتها هي: القيمة الأولية \(A =\frac{1}{2}\) والانحلال الأسي \(k = 2(\ln 3)\).
التطبيقات: كيفية البحث عن معلمات الصيغة الأسية
في كثير من الأحيان لا يتم إعطاؤنا فقط معلمات الانحلال الأسي. نعم. تحتاج أحيانًا إلى حساب هذه المعلمات من معلومات معينة مقدمة , وبعد ذلك تحتاج إلى القلق بشأن كيفية حل الانحلال الأسي
عادة ما يتم تقديم هذه المعلومات في أحد النوعين التاليين:
النوع 1:
نعلم أن هناك تسوسًا أسيًا , ونحصل على القيمة الأولية و
نصف الحياة
النوع 2:
نعلم أن هناك تسوسًا أسيًا , ونحصل على قيمة الدالة عند نقطتين مختلفتين في الوقت المناسب.
ملاحظات حول Half-Life
يتوافق نصف الوقت مع الوقت الذي تستغرقه الدالة ذات الاضمحلال الأسي لأخذ قيمتها إلى نصف قيمتها الأصلية.
لذلك , افترض أن \(h\) هو نصف عمر \(f(x) = A e^{-kx}\) وأن \(A\) معروف. كيف نحسب معدل الاضمحلال \(k\) ؟؟ لاحظ أنه عندما \(x = h\) سيكون لدينا نصف ما كان لدينا في البداية بالضبط:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]وحل هذا يؤدي إلى
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]عند العمل على مشكلة فعلية , يمكنك إما استخدام الصيغة مباشرة , أو ببساطة القيام بالاشتقاق الذي قمنا به من خلال إعداد المعلومات حول نصف العمر.
المثال 3:
افترض أن دالة لها قيمة أولية قدرها \(A = 3\) , وأن نصف عمرها هو \(h = 3\). افترض أيضًا أن الوظيفة بها تسوس أسي. أوجد معدل الانحلال الأسي.
إجابه:
إذن , هذه هي الحالة الأولى من نوع المعلومات التي يمكن أن نحصل عليها. نحتاج إلى إيجاد القيمة الأولية \(A\) ومعدل الانحلال \(k\) من أجل تحديد صيغة الانحلال الأسي بالكامل.
في هذه الحالة , لدينا بالفعل \(A = 3\) , لذلك كل ما تبقى لدينا هو حساب ثابت الانحلال \(k\). نظرًا لأننا نعرف عمر النصف , يمكننا حساب معدل الانحلال مباشرةً باستخدام الصيغة:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]ومن ثم , فإن صيغة الانحلال الأسي هي
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]المثال 4:
افترض أن قيمة أولية للدالة هي \(A = 5\) , وعندما يكون \(x = 4\) لدينا \(f(4) = 2\). افترض أيضًا أن الوظيفة بها تسوس أسي. أوجد صيغة الانحلال الأسي.
إجابه:
إذن , هذه هي الحالة الأولى من نوع المعلومات التي يمكن أن نحصل عليها. نحتاج إلى إيجاد القيمة الأولية \(A\) ومعدل الانحلال \(k\) من أجل تحديد صيغة الانحلال الأسي بالكامل.
في هذه الحالة , لدينا أن \(A = 5\) , وبعد ذلك كل ما علينا حسابه هو ثابت الانحلال \(k\). بما أننا نعرف قيمة الوظيفة عند \(x = 4\):
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]والآن بعد أن حسبنا عامل الاضمحلال , حصلنا على أن صيغة الانحلال الأسي هي
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]يتم الحصول على ما يلي إذا رسمنا هذه الوظيفة بالرسم البياني:
More About Exponential Decay
الانحلال الأسي هو نموذج تلعب فيه الوظيفة الأسية دورًا رئيسيًا وهو نموذج مفيد للغاية يناسب العديد من نظريات التطبيق الواقعية. التطبيق الأكثر شهرة للانحلال الأسي له علاقة بسلوك المواد المشعة.
في الواقع , تتبع المادة المشعة معادلة اضمحلال أسي , ولكل مادة (اعتمادًا على تقلبها) نصف وقتها , وهو مقدار الوقت الذي تستغرقه كمية المواد المشعة لتقليلها إلى النصف.
عادة , يتم كتابة صيغة الاضمحلال الإشعاعي كـ
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]أو يتم التعبير عنها أحيانًا من حيث عمر النصف \(h\) مثل
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]ماذا يعني الاضمحلال الأسي؟
رياضياً , تحتوي الوظيفة على تسوس أسي إذا كان من الممكن كتابتها بالصيغة \(f(x) = A e^{-kx}\). بالنسبة للكثيرين منكم , هذا لا يعني الكثير.
حسنًا , هذا جيد , لذا يمكننا وصف الانحلال الأسي. قد تعتقد أن الاضمحلال الأسي يعني "الاضمحلال السريع حقًا". بينما تتحلل الوظيفة مع الاضمحلال الأسي سريعًا حقًا , فليست كل الوظائف التي تتحلل بسرعة كبيرة تحتوي على تسوس أسي.
على سبيل المثال , ضع في الاعتبار \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). إذا قمت برسم هذه الدالة , فسترى أنها تتحلل سريعًا حقًا , لكنها في الواقع لا تحتوي على تسوس أسي.
إذا كنت ستصف الانحلال الأسي , بعيدًا عن المصطلحات الجبرية لتعريفها , فستحتاج إلى القول إن الوظيفة لها تسوس أسي إذا كانت تتحلل سريعًا حقًا , ولكنها أيضًا لها خاصية حاسمة:
بغض النظر عن قيمة الوظيفة عند نقطة معينة \(x\) , توجد قيمة \(h\) بحيث تكون قيمة الدالة عند النقطة \(x+h\) نصف قيمة الدالة عند \(x\).
بترتيب الكلمات , هناك قيمة ثابتة \(h\) (نعم , خمنت , نصف العمر) التي لها خاصية تقلل الوظيفة من قيمتها إلى النصف بعد وحدات \(h\).
الوظيفة \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) , على الرغم من أنها تتحلل بسرعة , إلا أنها لا تحتوي على خاصية (نصف العمر) أعلاه.