حساب التفاضل والتكامل دروس

تحلل جزء جزئي

تحلل الكسر الجزئي هو تقنية تستخدم لإجراء التكامل أكثر بساطة, عن طريق التحلل من الصعب دمج الوظيفة في مجموع العديد من الوظائف أسهل في الاندماج.

في كثير من الأحيان تستخدم الأوقات الكسور الجزئية هي الطريقة الوحيدة الممكنة لحساب جزء لا يتجزأ, بخلاف ذلك سيكون من المستحيل حلها.

على وجه التحديد, يتم تطبيق هذه التقنية عندما نحتاج إلى دمج حاصل اثنين من متعدد الحدود \(P(x)\) و \(Q(x)\).هذا, نحن بحاجة إلى حساب.

\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]

على سبيل المثال, أقول أن \(P(x) = x^2 - 2\) و \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), لذلك فإن جزءا لا يتجزأ من حاصل هذين متعدد الحدود سيكون:

\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]

كيف يحلك هيك ذلك, قد تفكر ..... من النظرة الأولى تبدو مستعصية, كما لو كنت لا تتبع النهج الصحيح.

لحسن الحظ, في كل مرة تحاول فيها دمج حاصل عدد بين متعدد الحدود, بغض النظر عن مدى تعقيد هؤلاء متعدد الحدود, هناك دائما طريقة للحد من التكامل إلى مجموعة من السهل حلها.

فقط, من أجل القيام بذلك, نحتاج إلى إخماد بعض الأعمال الجبرية مسبقا, ولكن تقسيم اثنين من متعدد الحدود وحل بعض النظام الخطي.

إنه سعر صغير للدفع من أجل حل وإلا من المستحيل حل جزء لا يتجزأ, أليس كذلك؟من فضلك قل نعم.

مثال 1

اسمحوا لي أن أعطيك دعابة.هل يمكن أن تذهب إلى الأمام ودمج هذا؟

\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]

hummm ..... هل تستطيع؟حسنا, إنه لا يبدو سهلا, أو حتى ممكن.ماذا لو قلت لك ذلك

\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]

لذلك, الكسر الذي تريد دمجه تتحلل إلى ثلاثة الكسور الجزئية , وكل من هذه الكسور الجزئية هو في الواقع من السهل الاندماج.في الواقع, يؤدي استخدام التحلل أعلاه إلى

\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]

لذلك, يمكنك أن توافق معي على حل التحلل المشكلة, لأنه بعد معرفة التحلل, تم تخفيض مشكلة التكامل إلى ثلاثة تكامل بسيطة للغاية.

الآن سوف تتعلم كيفية القيام بهذا التحلل.

كيفية القيام تحلل الكسور الجزئية؟

الخطوة 1

بادئ ذي بدء, تعمل هذه التقنية فقط عند الرغبة في دمج حاصلين من متعدد الحدود.هذا هو, تريد الاندماج

\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]

حيث \(P(x)\) و \(Q(x)\) هي متعدد الحدود. يمكننا دائما أن ترتيب \(Q(x)\) أكبر من ترتيب \(P(x)\) وبعد

إذا لم يكن الأمر كذلك, فإن ترتيب \(P(x)\) أكبر من ترتيب \(Q(x)\), ثم يمكنك استخدام نظرية قسم متعدد الحدود للحصول على

\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]

حيث \(M(x)\) و \(R(x)\) هي متعدد الحدود, وترتيب \(R(x)\) أقل من ترتيب \(R(x)\), مما يعني ذلك

\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]

ثم يتم تقليل مهمة دمج \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) إلى مهمة دمج متعدد الحدود \(M(x)\) (وهو تافه) ودمج حاصل على حاصل على مادة متعددة الحدود \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) حيث يحتوي متعدد الحدود في البسط عن ترتيب أقل من واحد في القاسم.

الخطوة 2

تحتاج إلى العثور على جذور متعدد الحدود في القاسم \(Q(x)\) وإجراء تحلل في المصطلحات الخطية والثانوية مع التعددية, ووصفها نظرية الجبر الأساسية.

هذه الخطوة تتطلب قليلا من معرفة الجبر.افترض أن \(Q(x)\) هو متعدد الحدود من أجل \(n\).لذلك نحن بحاجة إلى حل \(Q(x) = 0\), ووفقا لنظرية الجبر الأساسية, سيكون هناك بالضبط \(n\) جذور, ربما كل شيء حقيقي, ولكن ربما بعض المعقدة.أيضا, لكل جذر هناك تعدد معين (عدد مرات تكرر الجذر)

مع هذه جذور سوف نتحلل \(Q(x)\).لكل جذر حقيقي \(\alpha\), العامل المقابل في التحلل هو \((x-\alpha)\).إذا كانت هناك تعددية \(k\) لهذا الجذر (هذا هو, فإن الجذر يتكرر \(k\) مرات), فإن العامل في التحلل سيكون \((x-\alpha)^k\).

الآن, إنه مهتز قليلا عندما يكون هناك جذر معقد \(c\).في هذه الحالة, سيكون هناك دائما جذر مجمع متقنز, \(\bar c\), وتجميع أولئك معا, سننتهي مع تعبير تربيعي \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) مع معاملات حقيقية.

إذا كان هذا الجذر المعقد يحتوي على تعدد \(k\), فسيكون العامل \((x^2 + ax + b)^k\).

الخطوه 3

خذ العوامل التي وجدتها في الخطوة 2. لكل من العوامل التي ستنشئ بعض المصطلحات التي ستساهم في مجموع الكسور الجزئية.

لكل عامل النموذج \(x + a\): إضافة مصطلح \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)

لكل عامل النموذج \((x + a)^k\): إضافة شروط \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)

لكل عامل النموذج \(x^2 + ax + b\): إضافة مصطلح \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)

لكل عامل النموذج \((x^2 + ax + b)^k\): إضافة شروط \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)

الخطوة 4.

أضف هذه الكسور الجزئية معا, ومساواة ذلك إلى الحاصل \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), واستخدام ذلك للعثور على جميع الثوابت غير معروف \(A_i\) و \(B_i\) تم إنشاؤها في الخطوة 3.

الخطوة 5.

بعد أن وجدت الثوابت في الخطوة 4, لديك حافة الحاصل \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\), في العديد من المصطلحات التي يمكن دمجها عبر اللوغاريتم, أو تحتاج إلى إجراء تغيير بسيط في المتغيرات.

وقد تتاجرت حل مستحيل حلها جزءا لا يتجزأ من عدد كبير من الكسور الجزئية الأصغر, من الأسهل بكثير الاندماج, بعد تمرين جبري طويل من التحمل.

مثال 2

دمج ما يلي باستخدام الكسور الجزئية

\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]

إجابه:

بصبر, نحتاج إلى الذهاب من خلال جميع الخطوات.

الخطوة 1

في هذه الحالة \(P(x) = x\) و \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), لذلك ترتيب \(P(x)\) هو 1, وترتيب \(Q(x)\) هو 2. لذلك, يتم استيفاء الشرط, لأن ترتيب \(P(x)\) أقل من ترتيب \(Q(x)\).

الخطوة 2

دعونا نجد جذور \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), لذلك نحن بحاجة إلى حل

\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

إذن, فإن الجذور هي \(x_1 = 1\) و \(x_2 = -3\).العوامل ثم هي \((x-1)\) و \((x+3)\).لاحظ أن \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)

الخطوه 3

بالنسبة للعامل \((x-1)\), نضيف الكسر الجزئي \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) وللمعامل \((x+3)\) نضيف الكسر الجزئي \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\).

الخطوة 4.

الآن نضيف جميع الكسور الجزئية ومساواةها باستخدام الحاصل الأصلي للأعنام, من أجل حل الثوابت \(A\) و \(B\):

\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]

لاحظ أن آخر المساواة تشير إلى أن متعدد الحدود على اليسار هو نفسه متعدد الحدود على اليمين, لجميع \(x\).إذن, يجب أن تكون معاملاتهم متساوون.

هذا يعني أن \(A+B = 1\) و \(3A - B = 0\).من هذا الأخير, \(B = 3A\), لذلك ثم \(A + 3A = 1\), مما يعني \(4A = 1\) لذلك \(A = 1/4\), و \(B = 3/4\).

لذلك وصلنا إلى توسيع الكسور الجزئية لدينا:

\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]

الخطوة 5.

الآن يمكنك الاستمتاع بالدمج بسهولة:

\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] =\[\large \displaystyle \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]

مثال 3

دمج المصطلح التالي باستخدام التحلل الكسور الجزئي

\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]

إجابه:

مرة أخرى, نحن بحاجة إلى الذهاب من خلال جميع الخطوات.

الخطوة 1

في هذه الحالة \(P(x) = 1\) و \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), لذلك هو ترتيب \(P(x)\) هو 0, وترتيب \(Q(x)\) هو 3. لذلك, يتم استيفاء الشرط, لأن ترتيب \(P(x)\) أقل من ترتيب \(Q(x)\).

الخطوة 2

دعونا نجد جذور \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), لذلك نحن بحاجة إلى حل

\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]

هذا واحد هو متعثف, لأنه لا توجد صيغة سهلة للجذور العامة العامة (هناك صيغة, لكنها ليست سهلة).نحن بحاجة إلى القيام خدعة:

\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]

لذلك لدينا ذلك \(x^2 + 1=0\) أو \(x-1 = 0\).لذلك, فإن الجذور هي \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\).ثم, \(x_1\) هو حقيقي, \(x_2\) و \(x_3\) جذور متوافقة معقدة.

يحتوي الجذر \(x_1 = 1\) على عامل \((x-1\), وجذور القابلية المعقدة \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) لديك عامل \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\).

الخطوه 3.

بالنسبة للعامل \((x-1)\), نضيف الكسر الجزئي \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) ولممعامل \((x^2+1))\) نضيف الكرز الجزئي \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\).

الخطوة 4.

القن نضيفكم

\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] _ xyz_b_ _xyz_c__ __xyz_d_ _xyz_e__ _ xyz_f _

لاحظ أن آخر المساواة تشير إلى أن متوسط

هذا يعاني أن \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) و \(A - C = 0\). من هذا الأخير, \(A = C\), وكيلك \(A = -B\), لذك نحصل على ذلك \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) و \(C = -1/2\).

لذك وصلنا إيلي توسيع الكسو

\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]