الجبر دروس

تبسيط المتطرفين

تعتبر التعبيرات الجبرية التي تحتوي على المتطرفين شائعة جدا, ومن المهم معرفة كيفية التعامل معها بشكل صحيح.القاعدة الأولى التي نحتاجها إلى أن نتعلمها هي أن الجذور يمكن دائما تحويلها إلى صلاحيات, وهذا ما هو عليه هذا البرنامج التعليمي.

في هذا البرنامج التعليمي, سنتعلم كيفية تبسيط المتطرفين.

في الواقع, نحن نتعامل مع المتطرفين طوال الوقت, خاصة مع \(\sqrt x\).شيء واحد ربما لا نتوقف عن التفكير في أنه يمكن وضع الجذور من حيث صلاحيات.

كيف أفعل ذلك؟تحقق من ذلك.دعنا نبدأ مع \(\sqrt x\) أولا:

\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]

فلماذا يجب أن نكون متحمسين حول حقيقة أن المتطرفين يمكن وضعهم من حيث صلاحيات؟

الجواب بسيط: نظرا لأننا نستطيع استخدام القواعد التي نعرفها بالفعل بالسلطات لاستخلاص قواعد المتطرفين.

على سبيل المثال, دع \(x, y\ge 0\) يكون رقمين غير سلبيين.قاعدة واحدة تنطبق على المتطرفين

\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]

كيف نعرف؟حسنا, ببساطة باستخدام المادن 6 من الأسفل وتعريف الراديكالي كقوة.تحقق من ذلك:

\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]

مثال 1: تبسيط التعبير الراديكالي التالي:

\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]

إجابه:

بناء على التعبير المحدد المعطى, يمكننا إعادة كتابة العناصر داخل الراديكالية للحصول عليها

\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]

قواعد المتطرفين

هناك قواعد لتشغيل المتطرفين الذين يلزمون القيام به الكثير من القواعد الأسية (بطبيعة الحال, لأننا رأينا فقط أن الجذور يمكن التعبير عنها كقوى, لذلك من المتوقع أن تنطبق قواعد مماثلة).

قاعدة 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)

القاعدة 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)

المادة 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)

على الأرجح لديك, بطريقة أو بأخرى أو غيرها من العمل مع هذه القواعد, وأحيانا لا تعرف أنك تستخدمها.

ذكر واحد محدد يرجع إلى القاعدة الأولى.في كثير من الأحيان, سترى (أو حتى مدربك سيخبرك) أن \(\sqrt{x^2} = x\), مع حجة أن "الجذر يبني المربع".إلى درجة, هذا البيان صحيح, ولكن ليس صحيحا أن \(\sqrt{x^2} = x\).في الواقع, يمكننا إعطاء مثال عداد: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\).لذلك في هذه الحالة, \(\sqrt{x^2} = -x\).

في الواقع, ماذا يحدث هو أن \(\sqrt{x^2} = |x|\).هذا هو الحال عندما نحصل عليه \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), لأن \(|-3| = 3\).

مثال 2

تبسيط التعبير الراديكالي التالي:

\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]

إجابه:

هناك العديد من الأشياء التي تحتاج إلى القيام به هنا.أولا, نرى أن هذا هو الجذر التربيعي لكسر, حتى نتمكن من استخدام القاعدة 3. ثم, هناك صلاحيات سلبية مما يمكن تحويله.

بشكل ملموس, يمكننا أن نأخذ \(y^{-2}\) في القاسم على البسط كما \(y^2\).ثم, يمكننا تبسيط بعض الصلاحيات حتى نحصل على:

\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]