العمليات ذات الأسس السلبية
تعتبر العمليات مع الدعاة من بين العمليات الأساسية في الجبر , ومن بينها , العمليات التي تنطوي على الأسس السالبة هي التي تجلب معظم التعقيدات للطلاب.
أولاً , لنتذكر خصائص الأس الأساسية. استخدام هذه الخصائص موجود في كل مكان في معظم مجالات الرياضيات. القواعد هي:
قاعدة 1: \(\large \displaystyle x^0 = 1\) , لـ \(x = \not 0\)
القاعدة 2: \(\large\displaystyle x^1 = x\)
القاعدة 3: \(\large\displaystyle x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
القاعدة 4: \(\large\displaystyle \left(x^m\right)^n = x^{mn}\)
القاعدة 5: \(\large\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)
على سبيل المثال , عندما يكون لديك تعبير مثل \(3^5 \cdot 3^7\) , نعلم أننا نستخدم قاعدة الضرب (القاعدة 3) للحصول على:
\[\large 3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}\]قواعد الأس: ماذا يحدث للأسس السالب؟
حتى لو لم تكن تدرك ذلك , فإن القواعد أعلاه لا تقول أن الأس يجب أن يكون موجبًا. في الواقع , يمكن أن تكون سلبية وستظل القواعد قائمة أيضًا.
الآن , من القاعدتين 1 و 5 يمكننا اشتقاق العلاقة بين الأس الموجب والسالب. لذلك , بالنسبة للقاعدة 5 , افترض أن \(m = 0\) و \(n\) موجبة. ثم نحصل
\[\large\displaystyle \frac{1}{x^n} = \frac{x^0}{x^n} = x^{0-n} = x^{-n}\]يعطينا التعبير أعلاه علاقة بسيطة بين الأس الموجب والسالب:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}\]
يخبرنا التعبير أعلاه أنه يمكننا تمرير قوة أس سالب في البسط إلى المقام مع الأس الموجب المقابل. هذه "قاعدة" واحدة للأسس السالبة
يكمن جمال الصيغة أعلاه في أنه يمكننا مضاعفة المصطلحات الموجودة على جانبي المساواة , ويمكننا كتابة التعبير أعلاه في شكل مختلف قليلاً:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^{-n}} = x^{n}}\]
عادةً ما يكون هذا التعبير الأخير مفيدًا جدًا , لأنه يخبرنا أنه يمكننا إحضار قوة أس سالب في المقام إلى البسط ولكن مع الأس الموجب المقابل. يمكن اعتبار هذا "قاعدة" أخرى للأسس السالبة.
مثال 1
بسّط التعبير التالي واتركه بدون الأسس السالبة:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2}\]إجابه:
باستخدام قاعدة الأس السالب , نبدل الأسس الموجبة / السالبة بين البسط / المقام:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2} = \frac{x^{3}\sqrt{x} x^{1/2}}{ y^2 y^{3}}\] \[\large = \frac{x^{3} x^{1/2} x^{1/2}}{ y^2 y^3} = \frac{x^{3+1/2+1/2}}{ y^{2+3}} \] \[\large = \frac{x^{4}}{ y^{5}} \]وننهي عملية التبسيط , لأنه لم يتبق شيء للتبسيط.
المزيد عن الأسس السلبية
واحدة من أكبر الدروس المستفادة من هذا البرنامج التعليمي حول الأسس السالبة هي أن لدينا قواعد لتحويل تلك الأسس السالبة إلى أسس موجبة. كيف نفعل ذلك؟
• إذا كان لدينا أس سالب في البسط (أي أنك تضرب في أس سالب) , فيمكننا تمريره إلى المقام ذي الأس الموجب.
• إذا كان لدينا أس سالب في المقام (أي أنك تقسم على أس سالب) , فيمكننا تمريره إلى البسط ذي الأس الموجب.
التعامل مع الأسس السلبية هو مجرد جزء صغير من موضوع التعامل معها قواعد الأس , والتي تعطيك فكرة واضحة عن سبب عمل الحالة ذات الأس السالب بالطريقة التي تعمل بها.