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在本教程的第二部分,我们将处理其他一些稍微复杂的示例。
例子： 给定函数 \(f(x) = x^3 + 2x+1\),为定义它的每个点计算导数 \(f'(x)\)。
解决方案： 请注意,在这个问题中,他们没有给我们一个特定的点来计算导数。我们需要在任意点 \(x_0\) 处进行计算。我们怎么做？好吧,我们只需遵循定义：
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]现在我们使用 \(f(x)\) 的定义。事实上,我们得到：
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]现在我们使用一个小而简洁的代数技巧：
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]现在注意。我们在计算导数的最后部分使用了这个小技巧,我们发现
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]如你所见,我们可以取消\(x-x_0\),我们最终得到
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]换句话说,导数函数是 \(f'(x) = 3x^2+2\)。你看？这就是我说导数也是一个函数时的意思。在这种情况下,所有 \(x\in \mathbb R\) 的导数都已明确定义。
是的,我们确实需要一些技巧来计算导数。所以,你打算怎么做？？让我告诉你一些事情,你不会像大多数时间那样手工计算导数。在下一个教程中,我将向您介绍一些 使导数计算变得非常容易的工具 .
所以,坚持到下一个。