Последовательность \(a_n\) соответствует бесконечному массиву или списку номеров формы

где \(a_1, a_2, a_3, ...\) - действительные числа. Например, последовательность

представлен списком

потому что это значения, которые принимает выражение \(a_n = \frac{1}{n}\), когда \(n\) принимает значения 1, 2, 3, ... и т. д.

Сходимость последовательностей

Одна концепция, которую обычно трудно понять, - это сходимость последовательности. Однако идея очень тривиальна: последовательность \(a_m\) сходится к значению \(a\), если значения последовательности становятся все ближе и ближе к \(a\) (на самом деле они становятся настолько близкими, насколько мы хотим), когда \(n\) приближается к бесконечности.

Например: Последовательность \(a_n = 1/n\) такова, что

потому что значение \(1/n\) становится "настолько близким к нулю, насколько мы хотим", когда \(n\) приближается к бесконечности.

Формальное определение конвергенции:

Последовательность \(a_n \to a\) как \(n \to \infty\), или иначе сказано \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\), если

• Для всех \(\varepsilon >0\) существует \(n_0\) такое, что \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)

Это говорит о том, что независимо от того, насколько близка вы хотите последовательность из \(a\), всегда есть точка в последовательности, так что все точки дальше, чем это, достаточно близки к \(a\). Другими словами сходимость последовательности не говорит о том, что какое-то число последовательности приближается достаточно близко к пределу \(a\), но вместо этого указывает, что если мы зайдем достаточно далеко в последовательность, все значения if будут достаточно близкими.

Алгебра пределов

Работать с ограничениями не так сложно, если мы их знаем. Фактически, есть простые правила, которые позволяют вычислять более сложные ограничения на основе более простых. Эти правила показаны ниже:

Если \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) и \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\), то мы имеем:

(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)

(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)

(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)

(где свойство (3) сохраняется до тех пор, пока \(b \ne 0 \).)

Пример: Лимит

вычисляется путем умножения числителя и знаменателя на \(\frac{1}{n^2}\), что означает

потому что \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).