السؤال رقم 1: في دراسة كلاسيكية لمرفق الرضع, وضع هارلو (1959) قرود الرضع في أقفاص مع اثنين من الأمهات البدلي الاصطناعي. تم تصنيع "الأم" من شبكة سلكية عارية وتضمن زجاجة رضيع يمكن للرضع الذين يمكن أن يتغذى عليها. كانت الأم الأخرى مصنوعة من قماش تيري لينة ولم تقدم أي وصول إلى الطعام. لاحظ هارلو قرود الرضع وتسجيل مقدار الوقت الذي تم إنفاقه في كل يوم مع كل أم. في يوم نموذجي, قضى الرضع ما مجموعه 18 ساعة تتشبث بأحد الأمهات. إذا لم يكن هناك تفضيل بين الاثنين, فسوف تتوقع أن يتم تقسيم الوقت بالتساوي, مع متوسط ​​μ = 9 ساعات لكل من الأمهات. ومع ذلك, فقد قضى القرد النموذجي حوالي 15 ساعة في اليوم مع الأم تيري القماش, مما يدل على تفضيل قوي للأم الناعمة والأمغم. لنفترض أن عينة من N = 9 قرود الرضع في المتوسط ​​م = 15.3 ساعة في اليوم مع SS = 216 مع الأم تيري القماش. هل هذه النتيجة كافية لاستنتاج أن القرود قضى وقتا أكبر بكثير مع الأم ليونة مما هو متوقع مما إذا لم يكن هناك تفضيل؟ استخدم اختبارا ذيلاين مع \(\alpha = .05\).

حل: نريد اختبار التالية الفرضات الفارغة والبدلة.

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

نظرا لأن الانحراف المعياري للسكان $ \ Sigma $ غير معروف, يتعين علينا استخدام اختبار T مع الصيغة التالية:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

هذا يتوافق مع اختبار t اثنين الذيل.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

يتم حساب إحصائيات T بواسطة الصيغة التالية:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

القيمة الحاسمة ل \(\alpha = 0.05\) و DF = N- 1 = 9 -1 = 8 درجات الحرية لهذا الاختبار ذيل الذيل هي \(t_{c} = 2.31\).وترد منطقة الرفض من قبل

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

منذ \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\), ثم نرفض الفرضية الفارغة H _0. وبعد

وبالتالي, لدينا أدلة كافية لدعم الادعاء بأن القرود قضى وقتا أكبر بكثير مع الأم ليونة مما هو متوقع إذا لم يكن هناك تفضيل.

السؤال 2: نظرا لحجم عينة من 38, مع عينة متوسط 660.3 وعينة الانحراف المعياري 95.9 نحن نؤدي اختبار الفرضية التالية.

الفرضية الفارغة H0: μ = 700

الفرضية البديلة H0: μ ≠ 700

في الأهمية المستوى 0.05

أ.حساب إحصاءات الاختبار
(نصيحة: هذا هو الحال عندما نختبر المطالبة المتعلقة بالسكان يعني الانحراف المعياري السكاني غير معروف؛ 95.9 هو الانحراف المعياري العينة وليس الانحراف المعياري للسكان).

ب.استخدم الجدول A-3 للعثور على قيمة حرجة لهذا الاختبار واتخاذ القرار:
رفض أو لا ترفض الفرضية الفارغة

حل: أ) اهتمامنا في اختبار الفرضيات الخالية والبديلة التالية

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

نظرا لأن الانحراف المعياري للسكان \(\sigma\) غير معروف, يتعين علينا استخدام اختبار T مع التعبير التالي:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

هذا يتوافق مع اختبار t اثنين الذيل.يتم حساب إحصائيات T بواسطة الصيغة التالية:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

ب) القيمة الحاسمة ل \(\alpha = 0.05\) و \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) درجات الحرية لهذا الاختبار ذيل الذيل هي \(t_{c} = 2.026\).وترد منطقة الرفض من قبل

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

منذ \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\), ثم نرفض الفرضية الفارغة H _0. وبعد

وبالتالي, لدينا أدلة كافية لدعم الادعاء بأن السكان يعني يختلف عن 700.

السؤال 3: يرغب وكيل العقارات في تحديد ما إذا كان المقيمون الضرائب والممثل العقاري يتفقون على قيم المنازل.نظرت عينة عشوائية من المجموعتين 10 منازل.يتم عرض البيانات هنا.هل هناك فرق كبير في قيم المنازل لكل مجموعة؟استخدم A = 0.05.

	المثمنين العقاريين	Tax assessors
Mean	83,256 دولار	88,354 دولار
الانحراف المعياري	3256 دولار	2340 دولار
Sample size	10.	10.

حل: نحن مهتمون في الاختبار

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

الذي يتوافق مع عينات مستقلتين ذي الذيل T- اختبار.قبل تطبيق اختبار T, يلزم اختبار ما إذا كان يمكن افتراض أن الفروق متساوية أم لا.نحن بحاجة إلى اختبار

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

يتم حساب إحصائيات F كما

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

القيم الحرجة الدنيا والعليا ل \(\alpha =0.05\) و DF _1. = 9 و DF _2. = 9

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

مما يعني أننا نفشل في رفض الفرضية الفارغة من الفروق المتساوية.لاحظ أننا نتفترض أن الفروق متساوية, لذلك يتم حساب إحصائيات T على النحو التالي:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

حيث يتم حساب الانحراف المعياري المجمع كما

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

هذا يعني أن إحصائيات T هي

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

القيمة الحرجة ل \(\alpha = 0.05\) و \(df = 18\) درجات الحرية لهذا الاختبار ذيل الذيل هي \(t_{c} = 2.1\).وترد منطقة الرفض من قبل

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

منذ \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\), ثم نرفض الفرضية الفارغة H _0. وبعد

وبالتالي, لدينا أدلة كافية لدعم الادعاء بأن هناك فرقا كبيرا في قيم المنازل لكل مجموعة.