السؤال رقم 1: تم إيجاد صيغ الخط المربع الصغرى بحل جملة المعادلات

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\sum{y}\]

\[b\left( \sum{x} \right)+m\left( \sum{x^2} \right)=\sum{xy}\]

حل المعادلتين من أجل b و m لتوضيح ذلك

\[\begin{align} & m=\frac{n\left( \sum{xy} \right)-\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)}{n\left(\sum{{{x}^{2}}} \right)-{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}} \\ & b=\frac{\sum{y-m\left( \sum{x}\right)}}{n} \\ \end{align}\]

يحل: من عند

\[ nb+m\left( \sum{x} \right)=\sum{y}\]

\[b\left( \sum{x} \right)+m\left( \sum{x^2} \right)=\sum{xy}\]

لدينا معادلتان ومجهولان (م وب)

نحصل على ذلك بضرب المعادلة الأولى في \(\left( \sum{x} \right)\) والثانية في -n

\[\begin{align} & nb\left( \sum{x} \right)+m{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}=\left( \sum{y}\right)\left(\sum{x} \right) \\ & -nb\left( \sum{x} \right)-mn\left( {{\sum{x}}^{2}}\right)=n\sum{xy} \\ \end{align}\]

والآن نضيف هذه:

\[m\left( {{\left( \sum{x} \right)}^{2}}-n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right) \right)=\left( \sum{x} \right)\left(\sum{y} \right)-n\left( \sum{xy} \right)\]

\[\Rightarrow \,\,\,\,m=\frac{\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)-n\left( \sum{xy} \right)}{{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}-n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right)}=\frac{n\left( \sum{xy} \right)-\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)}{n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right)-{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}}\]

الآن , من هذه المعادلة:

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\left( \sum{y} \right)\]

يمكننا حلها ب :

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\left( \sum{y} \right)\,\,\Rightarrow \,\,\,nb=\left( \sum{y} \right)-m\left( \sum{x} \right)\,\Rightarrow \,\,\,b=\frac{\left( \sum{y} \right)-m\left( \sum{x} \right)}{n}\]

السؤال 2: حدد معامل الارتباط وقم بعمل رسم بياني لخط الانحدار باستخدام معامل الانحدار لمجموعة البيانات التالية.

حرائق الغابات وفدان محترق. فيما يلي عدد الحرائق وعدد الأفدنة المحترقة

حرائق (x)	72	69	58	47	84	62	57	45
فدان (و)	62	41	19	26	51	15	30	15

حل: (أ) يتم الحصول على مخطط التشتت التالي:

بناءً على مخطط التشتت أعلاه , نلاحظ أن هناك درجة معتدلة إلى قوية من الارتباط الخطي الإيجابي.

(ب) من ناحية أخرى , لدينا الجدول التالي يوضح الحسابات اللازمة لحساب ارتباط بيرسون: نحصل على

يتم حساب ارتباط Pearson r كـ

\[r = \frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}^{2}}}} = \frac{8 \times {17216}-{494}\times {259}}{\sqrt{8\times {31692}-{494}^{2}}\sqrt{8\times 10513-{259}^{2}}}\]

\[=0.7692\]

(ج) معامل التحديد هو

\[{{r}^{2}}={0.7692}^{2}= {0.5917}\]

مما يعني أن 59.17٪ من التباين في فدان (ص) تفسره الحرائق (س).

(د) تحسب معاملات الانحدار

\[b=\frac{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}} \right)-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}=\frac{8 \times {17216}-{494}\times {259}}{8 \times {31692}-{494}^{2}}= 1.0297\]

and

\[a=\bar{y}-b \bar{x}={32.375}{+} {1.0297}\,\cdot \, {61.75} = {-31.208}\]

هذا يعني أن معادلة الانحدار هي

\[\hat{y}= {-31.208}{+}{1.0297}\,x\]

Graphically:

السؤال 3: لقد أجريت دراسة لتحديد ما إذا كان متوسط الوقت الذي يقضيه في معمل الكمبيوتر كل أسبوع ودرجة الدورة التدريبية في دورة الكمبيوتر مرتبطان أم لا. باستخدام البيانات الواردة أدناه , ما هو الاستنتاج الذي قد تستخلصه بشأن هذه المشكلة؟

student	# hours in lab	Course Grade
1	20	96
2	11	51
3	16	62
4	13	58
5	89
6	15	81
7	10	46
8	10	51

حل: يوضح الجدول التالي الحسابات المطلوبة لحساب بيرسون التواصل ص : نحن نحصل

يتم حساب ارتباط Pearson r كـ

\[r = \frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}^{2}}}} = \frac{8 \times {7925}-{112}\times {534}}{\sqrt{8\times {1660}-{112}^{2}}\sqrt{8\times 38224-{534}^{2}}}\]

\[=0.9217\]

نريد اختبار أهمية معامل الارتباط. بشكل أكثر تحديدًا , نريد الاختبار

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\rho {=} 0 \\ {{H}_{A}}:\rho {\ne} 0 \\ \end{align}\]

من أجل اختبار الفرضية الصفرية , نستخدم اختبار t. يتم حساب إحصائيات t كـ

\[t= r \sqrt{\frac{n-2}{1-{{r}^{2}}}}= {0.9217} \times \sqrt{\frac{6}{1-{0.9217}^2}}= {5.8198}\]

يتم حساب قيمة p ثنائية الطرف لهذا الاختبار كـ

\[p=\Pr \left( |{{t}_{6}}|>5.8198 \right)=0.0011\]

منذ \(p = 0.0011 {<} 0.05\) , وهذا يعني أننا نرفض الفرضية الصفرية H ₀ .

ومن ثم , لدينا أدلة كافية لدعم الادعاء بأن العلاقة بين عدد الساعات في المختبر ودرجة الدورة التدريبية تختلف اختلافًا كبيرًا عن الصفر.