部分分数分解是一种用于使集成更简单的技术,通过分解难以将功能集成到更容易集成的若干函数的总和中。

通常使用部分分数的时间是计算积分的唯一可行方式,否则是不可能解决的。

具体地,当我们需要将两个多项式\(P(x)\)和\(Q(x)\)的商集成时,应用该技术。这是,我们需要计算。

例如,说\(P(x) = x^2 - 2\)和\(Q(x) = x^3 - 7x + 6\),因此这两个多项式的商的积分将是：

你如何解决这个问题,你可以思考.....乍一看它看起来很难,它是如果你不遵循正确的方法。

幸运的是,每次尝试整合两种多项式的商,无论这些多项式如何复杂,总有一种方法可以减少一堆易于解决的积分。

只要这样做,我们需要事先推出一些代数工作,而是划分两种多项式并解决一些线性系统。

要支付的是一个小的代价,以解决和否则不可能求解积分,对吧？请说是的。

例1

让我给你一件甜度。你能继续融洽吗？

鹰嘴豆.....你能吗？好吧,它看起来并不容易,甚至可能。如果我告诉你的话怎么办

所以,你要整合的分数被分解成三个 部分分数 ,并且这些部分分数中的每一个实际上都很容易集成。实际上,使用上述分解引导我们

所以,你可以同意我的分解解决了问题,因为在了解分解之后,集成问题减少到三个非常简单的积分。

现在,您将学习如何进行这种分解。

如何做部分分数分解？

第1步

首先,该技术仅在您想要整合两个多项式的商时工作。这是,你想整合

其中\(P(x)\)和\(Q(x)\)是多项式。 我们可以始终假设\(Q(x)\)的j_xyz_b__的顺序 。

如果不是这种情况,并且\(P(x)\)的顺序大于\(Q(x)\)的顺序,那么你可以使用多项式的划分定理来获得

其中\(M(x)\)和\(R(x)\)是多项式,\(R(x)\)的顺序低于\(R(x)\)的顺序,这意味着

因此,整合\(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\)的任务减少到集成多项式\(M(x)\)（这是琐碎的）并积分多项式\(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\)的商的任务,其中分子中的多项式的多项式具有比分母中的多项式较低的顺序。

第2步

您需要在分母\(Q(x)\)中找到多项式的根部,并以多样性的线性和二次术语的分解,并由代数的基本定理描述。

这一步骤需要一些关于代数的知识。假设\(Q(x)\)是\(n\)的多项式。所以我们需要解决\(Q(x) = 0\),并根据代数的基本定理,会有完全\(n\)根,也许都是真实的,但也许是一些复杂的。此外,对于每个根,存在一定的多重（重复根的次数）

使用这些根源,我们将分解\(Q(x)\)。对于每个真实根\(\alpha\),分解中的相应因子是\((x-\alpha)\)。如果存在多个\(k\) for the toot（这是,则root重复__xyz_d_d_d__次）,分解中的因子将是\((x-\alpha)^k\)。

现在,当有一个复杂的根\(c\)时,它有点棘手。在这种情况下,将总会有一个共轭复制根,\(\bar c\),并将那些组合在一起,我们将最终以实际系数的二次表达式\((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\)。

如果该复杂根具有多个\(k\),则该因子将是\((x^2 + ax + b)^k\)。

第3步

采取您在步骤2中找到的因素。对于每个因素,您将创建一些将有助于部分分数的术语。

对于表单的每个因素\(x + a\)：添加一个术语\(\displaystyle \frac{A}{x+a}\)

对于表单的每个因素\((x + a)^k\)：添加条款\(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\)

对于表单的每个因素\(x^2 + ax + b\)：添加一个术语\(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\)

对于表单的每个因素\((x^2 + ax + b)^k\)：添加条款\(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \)

第四步

将这些部分分数添加在一起,并将其等同于商\(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\),并使用它来查找在步骤3中创建的所有未知常量\(A_i\)和\(B_i\)。

第5步

在第4步中找到常量后,您已将商\(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\)分解为几个可以通过对数集成的术语,或者您需要执行变化的简单变量。

在长期代数行使的耐力之后,您已经交易解决了可能大量更大的较小部分分数的一体化,以便更容易地整合。

例2.

使用部分分数整合以下内容

回答：

耐心地,我们需要通过所有步骤。

第1步

在这种情况下,\(P(x) = x\)和\(Q(x) = x^2 + 2x - 3\),所以\(P(x)\)的顺序为1,\(Q(x)\)的顺序为2.因此,满足条件,因为\(P(x)\)的顺序小于\(Q(x)\)的顺序。

第2步

让我们找到\(Q(x) = x^2 + 2x - 3\)的根源,所以我们需要解决

所以,根是\(x_1 = 1\)和\(x_2 = -3\)。然后是\((x-1)\)和\((x+3)\)的因素。观察\(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)

第3步

对于因子\((x-1)\)我们添加部分分数\(\displaystyle \frac{A}{x-1}\)和factor \((x+3)\)我们添加部分分数\(\displaystyle \frac{B}{x+3}\)。

第四步

现在我们添加所有部分分数并将它们与多项式的原始商等同起来,以解决常量\(A\)和\(B\)：

观察到最后一个相等表明左边的多项式与右侧的多项式相同,对于所有\(x\)。所以,它们的系数必须相等。

这意味着\(A+B = 1\)和\(3A - B = 0\)。从这个最后一个,\(B = 3A\),所以然后\(A + 3A = 1\),这意味着\(4A = 1\)所以\(A = 1/4\),\(B = 3/4\)。

所以我们已经到了我们的部分分数扩张：

第5步

现在,您可以享受轻松集成：

例3.

使用部分分数分解整合以下术语

回答：

再次,我们需要通过所有步骤。

第1步

在这种情况下,\(P(x) = 1\)和\(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\),所以\(P(x)\)的顺序为0,\(Q(x)\)的顺序为3.因此,满足条件,因为\(P(x)\)的顺序小于\(Q(x)\)的顺序。

第2步

让我们找到\(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\)的根源,所以我们需要解决

这个是棘手的,因为一般立方根没有一个简单的公式（有一个公式,但它不容易）。我们需要做一个技巧：

所以我们有那个\(x^2 + 1=0\)或\(x-1 = 0\)。因此,根部是\(x_1 = 1\),\(x_2 = i\),\(x_3 = -i\)。然后,\(x_1\)是真实的,\(x_2\)和\(x_3\)是复杂的共轭根。

根\(x_1 = 1\)有一个因素\((x-1\),而复杂的共轭根\(x_2 = i\),__yz_d__有一个因子\((x-i)(x+i) = (x^2+1)\)。

第3步

对于对于子\((x-1)\)我们加入分段分数\(\displaystyle \frac{A}{x-1}\)和因子\((x^2+1))\)我们加入分数分数\(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\)。

第四步

在我们加入没有分裂分数分数分数并它们与很多的过客

观察到最后一个相等表明的多重项式右侧的多项式,对于别\(x\)。

这意味着__xyz_a __,__ xyz_b__和\(A - C = 0\)。__ xyz_c__,__ xyz_d__,还有\(A = -B\),所以我得到__xyz_f __,__ xyz_g__和\(C = -1/2\)。

所以我们已经已经到我们的分数分数张：

第5步

现处,您可以享受集成：