代数教程

日志规则

对数函数是数学中最重要的函数之一,对数规则简单方便,让对数的处理变得非常容易。

让我们先回忆一下 \(\log_b a\) 是什么意思。在这种情况下,值 \(b\) 是根据的对数,而 \(a\) 是争论 .

当 \(b^y = a\) 时,我们说 \(\log_b a = y\)。这就是说 \(\log_b a\) 是 \(b\)（基数）需要提高到以获得 \(a\)（参数）的数字。

例如,\(\log_{10} 25\) 对应于我需要将 10 提高到 25 的数字。所以我正在寻找的对数是具有 \(10^y = 25\) 属性的数字 \(y\)

现在的问题是,我们如何计算具有 \(10^y = 25\) 属性的数字 \(y\)？嗯,这个数字是明确定义的,对数函数 \(f(x) = \log_{10} x\) 会处理它。这个函数不是初等函数,需要用泰勒级数（无穷级数）来表示。

或者,您可以使用计算器（这可能更容易,对吧？）。

对数规则：对数的性质

这些是主要的日志规则：

规则1 ：\(\large \log_a (b\cdot c) = \log_a (b)+ \log_a (c) \)

规则#2 ：\(\large \displaystyle \log_a \frac{b}{c} = \log_a (b) - \log_a (c) \)

规则#3 ：\(\large \log_a (b^c) = c \cdot \log_a (b) \)

规则#4 ：\(\large \log_a (a) = 1 \)

规则#5 ：\(\large \log_a (1) = 0 \)

示例 1

使用日志规则简化 \(\log_2 8 + \log_2 4\)：

回答：

使用规则#1,我们发现：

\[ \log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5\]

所以,第一步是规则#1 的简单应用,但我们如何得到\(\log_2 32 = 5\)？这是因为\(2^5 = 32\),所以在这种情况下,我们直接找到你需要提高\(2\)的数字是多少才能得到\(32\)。

大多数对数你需要一个计算器来计算它们。只有少数几个可以直接计算。像 \(\log_{10} 100 = 2\) 这样的东西,因为你很容易知道 \(10^2 = 100\)。

但是,你能直接计算 \(\log_{10} 102\) 吗？不是真的,你需要一个计算器。

示例 2

表达对数的和和减法：\( \displaystyle \log_{10} \sqrt[3]{\frac{a}{6bc}} \)。

回答：

首先,我们需要记住,取三次方是 \(1/3\) 次方。换句话说,\(\sqrt[3]{x}\) 与 \(x^{1/3}\) 相同。

那么,我们首先使用规则#3 将幂放在对数前面,然后我们使用规则#1 和#2。我们得到：

\[ \displaystyle \log_{10} \sqrt[3]{\frac{a}{6bc}} \] \[= \displaystyle \log_{10} \left({\frac{a}{6bc}}\right)^{1/3} \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \log_{10} \frac{a}{6bc} \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \left( \log_{10} a - \log_{10} (6bc) \right) \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \left( \log_{10} a - \log_{10} 6 - \log_{10} b - \log_{10} c \right) \]

这就是所需要的：简单对数的求和和减法。