Каков предел последовательности?
Последовательность \(a_n\) соответствует бесконечному массиву или списку номеров формы
\[a_1, a_2, a_3, ....\]где \(a_1, a_2, a_3, ...\) - действительные числа. Например, последовательность
\[a_n = \frac{1}{n}\]представлен списком
\[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ....\]потому что это значения, которые принимает выражение \(a_n = \frac{1}{n}\), когда \(n\) принимает значения 1, 2, 3, ... и т. д.
Сходимость последовательностей
Одна концепция, которую обычно трудно понять, - это сходимость последовательности. Однако идея очень тривиальна: последовательность \(a_m\) сходится к значению \(a\), если значения последовательности становятся все ближе и ближе к \(a\) (на самом деле они становятся настолько близкими, насколько мы хотим), когда \(n\) приближается к бесконечности.
Например: Последовательность \(a_n = 1/n\) такова, что
\[a_n = \frac{1}{n} \to 0\]потому что значение \(1/n\) становится "настолько близким к нулю, насколько мы хотим", когда \(n\) приближается к бесконечности.
Формальное определение конвергенции:
Последовательность \(a_n \to a\) как \(n \to \infty\), или иначе сказано \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\), если
• Для всех \(\varepsilon >0\) существует \(n_0\) такое, что \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)
Это говорит о том, что независимо от того, насколько близка вы хотите последовательность из \(a\), всегда есть точка в последовательности, так что все точки дальше, чем это, достаточно близки к \(a\). Другими словами сходимость последовательности не говорит о том, что какое-то число последовательности приближается достаточно близко к пределу \(a\), но вместо этого указывает, что если мы зайдем достаточно далеко в последовательность, все значения if будут достаточно близкими.
Алгебра пределов
Работать с ограничениями не так сложно, если мы их знаем. Фактически, есть простые правила, которые позволяют вычислять более сложные ограничения на основе более простых. Эти правила показаны ниже:
Если \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) и \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\), то мы имеем:
(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)
(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)
(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)
(где свойство (3) сохраняется до тех пор, пока \(b \ne 0 \).)
Пример: Лимит
\[\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1}\]вычисляется путем умножения числителя и знаменателя на \(\frac{1}{n^2}\), что означает
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}= \frac{1}{1} = 1\]потому что \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).