Операции с отрицательными показателями
Операции с показателями являются одними из самых фундаментальных операций в алгебре, и среди них те, которые включают отрицательные показатели, доставляют наибольшие сложности студентам.
Прежде всего напомним основные свойства экспоненты. Эти свойства используются повсеместно в большинстве областей математики. Правила следующие:
Правило 1: \(\large \displaystyle x^0 = 1\), для \(x = \not 0\)
Правило 2: \(\large\displaystyle x^1 = x\)
Правило 3: \(\large\displaystyle x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
Правило 4: \(\large\displaystyle \left(x^m\right)^n = x^{mn}\)
Правило 5: \(\large\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)
Например, когда у вас есть такое выражение, как \(3^5 \cdot 3^7\), мы знаем, что используем правило умножения (Правило 3), чтобы получить:
\[\large 3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}\]Правила экспонент: что происходит с отрицательными показателями?
Даже если вы этого не осознавали, приведенные выше правила не говорят о том, что экспоненты должны быть положительными. В самом деле, они могут быть отрицательными, и правила также останутся в силе.
Теперь из правил 1 и 5 мы можем вывести соотношение между положительными и отрицательными показателями. Итак, для правила 5 предположим, что \(m = 0\) и \(n\) положительны. Тогда получаем
\[\large\displaystyle \frac{1}{x^n} = \frac{x^0}{x^n} = x^{0-n} = x^{-n}\]Вышеприведенное выражение дает нам простую связь между положительными и отрицательными показателями:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}\]
Это выражение говорит нам, что мы можем передать степень с отрицательной экспонентой в числителе в знаменатель с соответствующей положительной экспонентой. Это одно "правило" отрицательных показателей.
Прелесть приведенной выше формулы в том, что мы можем перемножить члены по обе стороны от равенства и записать приведенное выше выражение в несколько иной форме:
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^{-n}} = x^{n}}\]
Это последнее выражение обычно очень полезно, потому что оно говорит нам, что мы можем привести степень с отрицательной экспонентой в знаменателе к числителю, но с соответствующей положительной экспонентой. Это можно рассматривать как еще одно "правило" для отрицательных показателей.
ПРИМЕР 1
Упростите следующее выражение и оставьте без отрицательных показателей степени:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2}\]ОТВЕЧАТЬ:
Используя правило отрицательных показателей, мы переключаем положительные / отрицательные показатели между числителем / знаменателем:
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2} = \frac{x^{3}\sqrt{x} x^{1/2}}{ y^2 y^{3}}\] \[\large = \frac{x^{3} x^{1/2} x^{1/2}}{ y^2 y^3} = \frac{x^{3+1/2+1/2}}{ y^{2+3}} \] \[\large = \frac{x^{4}}{ y^{5}} \]и мы заканчиваем упрощение, потому что нечего упрощать.
Подробнее об отрицательных экспонентах
Один из самых важных выводов этого урока об отрицательных показателях - это то, что у нас есть правила, по которым эти отрицательные показатели превращаются в положительные показатели. Как мы это делаем?
• Если у нас есть отрицательный показатель в числителе (то есть вы умножаете его на отрицательный показатель), мы можем передать его в знаменатель с положительным показателем.
• Если у нас есть отрицательный показатель в знаменателе (т.е. вы делите его на отрицательный показатель), мы можем передать его в числитель с положительным показателем.
Работа с отрицательными показателями - лишь малая часть того, что нужно делать. правила экспонентов , что дает вам четкое представление о том, почему случай с отрицательными показателями работает именно так.