Абсолютная ценность
Абсолютное значение числа соответствует его величине без учета знака, если он есть. Геометрически это соответствует расстоянию от точки \(x\) до начала координат \(0\) на реальной прямой.
Математически абсолютное значение числа \(x\) представляется как \(|x|\).
Из-за геометрической природы его интерпретации абсолютное значение широко используется в алгебре и других областях математики, и оказывается, что вычислить абсолютное значение данного числа очень легко: все, что вам нужно сделать, это отбросить знак, если есть знак.
ПРИМЕР 1
Вычислите абсолютное значение \(-8\).
ОТВЕЧАТЬ:
Как мы упоминали выше, абсолютное значение числа - это его величина без учета знака. В этом случае, отбрасывая знак, мы понимаем, что абсолютное значение \(-8\) равно \(8\). Математически мы пишем \(|-8| = 8\).
ПРИМЕР 2
Вычислите абсолютное значение \(4\).
ОТВЕЧАТЬ:
Мы знаем, что абсолютное значение числа - это его величина без учета знака. В этом случае нет знака, который нужно отбрасывать, поэтому получите абсолютное значение \(4\) просто \(4\). Итак, математически мы пишем \(|4| = 4\).
Математическое определение абсолютного значения
Этой идеи "отбрасывать знак" было бы достаточно, если бы все, что мы делали, - это вычислять абсолютное значение чисел. Но на самом деле мы делаем больше вещей, которые немного сложнее, такие как уравнения абсолютных значений и неравенства.
Математически формальное определение \(|x|\) дается ниже.
\ [| х | = \ left \ {\ begin {array} {cc} x \ text {} & \, \, \, \ text {for} x \ ge 0 \\ \\ -x & \, \, \ text {for} x <0 \\ \ end {array} \ right. \]Без паники проанализируем данное определение. Он просто говорит: "Проверьте данное число \(x\). Если \(x\) больше или равно нулю, то абсолютным значением числа будет само число. В противном случае, если данное число \(x\) отрицательно, абсолютное значение числа будет \(-x\), что соответствует умножению первоначально заданного числа на \(-1\).
Итак, в случае \(-8\) это число отрицательное, поэтому абсолютное значение получается умножением его на \(-1\), поэтому мы получаем \(|-8|\) = (-1) \ times (-8) = 8. Вот и все.
Это определение может показаться излишним. В конце концов, почему бы не придерживаться метода "уронить знак"? Для этого есть причина, и это просто потому, что такой способ определения абсолютного значения помогает нам справляться с более сложными ситуациями, связанными с абсолютным значением.
Например, если я попрошу вас решить следующее неравенство: \(|x^2-4x+10| \ge 0\), сможете ли вы просто "уронить знак", чтобы уменьшить его? Не совсем. Не волнуйтесь, мы обсудим неравенства, связанные с абсолютными значениями, в другом руководстве.
Хотел только указать, почему мы беремся за формальное определение абсолютного значения, и это потому, что в какой-то момент оно нам понадобится, когда мы будем обрабатывать более сложные операции с абсолютными значениями.
Свойства абсолютного значения
Это основные свойства:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\), для вещественных чисел \(a\) и \(b\)
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\), для вещественных чисел \(a\) и \(b\)
Ошибка квадратного корня квадрата
Наконец, я хотел бы отдать должное абсолютному значению отсутствующей ссылки. Да, заслуживает похвалы. Действительно, часто в старших классах или даже в колледже мы видим мутные утверждения вроде:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]с утверждением, что "квадратный корень отменяет квадрат". Я не собираюсь говорить, что это ложно, но я скажу, что это правда, когда \(x\) неотрицательно. Истинное утверждение было бы
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]и вот вам одно из звездных проявлений абсолютной ценности. Со временем вы поймете, что это проявляется чаще, чем вы думаете.
Подробнее об абсолютном значении
Абсолютное значение - это простая концепция, и она действительно полезна, поскольку имеет четкую геометрическую интерпретацию в реальной линии: она представляет собой расстояние от любой точки до начала координат.
Хотя вычислить его для числа просто, существуют более сложные операции, которые включают абсолютные значения, такие как уравнения и неравенства абсолютных значений. Для их решения требуется четкая стратегия, иначе вы можете попасть в тупик.
Как найти абсолютное значение?
Обычно найти абсолютное значение заданного числа не так уж и сложно: все, что вам нужно сделать, это получить величину числа без учета знака. Другими словами, чтобы было проще, просто посмотрите, есть ли знак, и бросьте его.
Процедура менее очевидна, когда вы вычисляете абсолютное значение алгебраического выражения, и в этом случае вам нужно сначала уменьшить выражение до числа, а затем отбросить любой знак, если он есть.
Приложения абсолютной ценности
Использование абсолютного значения выходит за рамки простого вычисления абсолютного значения чисел. Абсолютное значение имеет некоторые внутренние свойства, которые делают его бесценным аналитическим инструментом.
Например, абсолютное значение часто появляется во многих ситуациях, например, для \(\sqrt{x^2} = |x|\), что обычно считается само собой разумеющимся, поскольку большинство людей будет использовать \(\sqrt{x^2} = x\), что неверно, когда \(x\) отрицательно.
Абсолютное значение также появляется в геометрии (поскольку абсолютное значение разницы представляет собой расстояние между двумя точками), при интегрировании и для тех случаев, когда нам нужно решить неравенства по абсолютной величине .
Кроме того, вы можете использовать это калькулятор абсолютного значения чтобы попрактиковаться в концепциях, изученных в этом руководстве. Или для более общих расчетов вы можете использовать это калькулятор алгебраических выражений .