मार्कोव की असमानता कैलकुलेटर

मार्कोव की असमानता बताती है कि \(a > 0\) मान के लिए, हमारे पास किसी भी यादृच्छिक चर \(X\) के लिए है जो कोई नकारात्मक मान नहीं लेता है, निम्नलिखित ऊपरी सीमा हमेशा देखी जाती है:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

मार्कोव की असमानता संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, इसकी व्यापकता को इस अर्थ में देखते हुए कि यह किसी भी गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर \(X\) पर लागू होता है।

दरअसल, व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली असमानता को साबित करने के लिए मार्कोव की असमानता महत्वपूर्ण है, जो है चेबीशेव की असमानता , और यह और भी तीव्र असमानता की नींव है, जो कि होफडिंग की असमानता है।

मार्कोव की असमानता अंतर्ज्ञान

मार्कोव की असमानता के पीछे क्या अंतर्ज्ञान है? ठीक है, सबसे पहले, यह स्पष्ट कारक है कि दाहिनी पूंछ पर संभावना एक ऊपरी सीमा है जो अधिक से अधिक घट जाती है क्योंकि हमें और अधिक दाहिनी पूंछ मिलती है, जो वास्तव में बहुत स्पष्ट है।

असमानता की प्रकृति का निरीक्षण करें, जो कि \(\frac{E(X)}{a}\) टेल की प्रायिकता का सटीक मान नहीं है, बल्कि यह केवल एक ऊपरी सीमा है। यह कितना करीब है? खैर, अब हम जानते हैं कि यह वास्तविक वितरण पर निर्भर करता है, लेकिन फिर भी होफडिंग की असमानता जैसी तीव्र असमानताएं हैं।

लेकिन फिर भी, गणित में एक बहुत ही स्पष्ट नियम है: धारणा जितनी अधिक सामान्य (कम विशिष्ट) होगी, प्रमेय उतना ही कमजोर होगा। तो, यह बहुत बढ़िया है कि मार्कोव की असमानता इसकी धारणाओं की सामान्य प्रकृति पर विचार कर रही है।

उदाहरण के लिए, अनुभवजन्य नियम बहुत सख्त असमानता है, लेकिन यह एक बहुत मजबूत धारणा बनाता है: कि अंतर्निहित वितरण सामान्य है। मार्कोव की असमानता किसी भी वितरण के लिए काम करती है (गैर-ऋणात्मक चर के)