एकीकरण की प्रतिस्थापन विधि
प्रतिस्थापन विधि द्वारा एकीकरण या एकीकरण की प्रतिस्थापन विधि एक चालाक और सहज तकनीक है जो इंटीग्रल को हल करने के लिए उपयोग की जाती है, और यह इंटीग्रल को हल करने के कर्तव्य में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। भागों द्वार एक क्रमण तथा आंचिक अंज अपरटन तरीका।
एकीकरण कई बार एक कठिन संचालन हो सकता है, और हमारे पास केवल इसके साथ आगे बढ़ने के लिए कुछ उपकरण उपलब्ध हैं।
स्वाभाविक रूप से, कुछ बुनियादी प्राथमिक कार्यों (जैसे बहुपद, शक्तियां, प्राथमिक त्रिकोणमितीय कार्यों, आदि) के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना बहुत आसान है।
लेकिन सवाल यह है कि अधिक जटिल कार्यों के लिए या कार्यों के बीजगणितीय संयोजन के लिए अनिश्चितकालीन अभिन्न (या आदिम) की गणना करने के लिए कैसे आगे बढ़ना है।
क्या आप सब रॉक करने के लिए तैयार हैं??मैं हूं, इसलिए मेरा अनुसरण करें।
प्रतिस्थापन विधि कैसे काम करती है?
प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि "ब्लॉक" की पहचान करके काम करती है जिसमें एकीकरण चर होता है, ताकि उस ब्लॉक का व्युत्पन्न अभिन्न के अंदर भी पाया जा सके।इस विधि को आमतौर पर यू-प्रतिस्थापन विधि भी कहा जाता है।
यदि अभिन्न की संरचना की अनुमति देती है, तो यह "ब्लॉक" वास्तव में एक नया एकीकरण चर बन जाता है, अगर सब कुछ ठीक हो जाता है, और अभिन्न गंभीरता से सरल हो जाता है।
क्या यह हमेशा काम करता है?नहीं। या अलग-अलग कहा, आप हमेशा प्रतिस्थापन कर सकते हैं, लेकिन यह हमेशा इसे एक आसान अभिन्न अंग परिवर्तित नहीं करेगा।
इस विधि को क्यों आजमाएं?खैर, क्योंकि यह अक्सर काम करता है।और यह आमतौर पर पहली चाल है जिसे आपको कोशिश करनी चाहिए यदि आपको एक अभिन्न अंग को हल करने की आवश्यकता है जो तुच्छ नहीं है।
यदि आपको इस विधि को लागू करने की आवश्यकता है तो हमें अनुसरण करने के लिए कुछ कदम उठाएं:
चरण 1:
उस फ़ंक्शन को एकीकृत कर रहे हैं और "ब्लॉक" की तलाश करें, यह है, \(x\) का एक फ़ंक्शन जो आपके द्वारा एकीकृत फ़ंक्शन में एक या अधिक बार दिखाई देता है।
चरण 2:
"ब्लॉक" जिसे आप एक बहुत ही विशिष्ट संपत्ति की आवश्यकता के लिए देख रहे हैं: ब्लॉक के व्युत्पन्न को एक समय और एक बार केवल उस फ़ंक्शन में एक बार दिखाई देने की आवश्यकता होती है।
चरण 3:
यदि पिछले चरण सफल थे, तो आप "ब्लॉक" को नए चर के रूप में उपयोग कर सकते हैं, और आप परिवर्तनीय और अंतर को नए चर के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं, और जिस अभिन्न आप को हल कर रहे हैं वह अब बहुत आसान हो जाता है।
तकनीकी नोट : आमतौर पर मैं सभी स्पष्टीकरण को सरल रखने की कोशिश करता हूं, और तकनीकीताओं से बचने की कोशिश करता हूं।इस मामले में, मुझे प्रतिस्थापन विधि के लिए तकनीकी स्पष्टीकरण देना होगा, "ब्लॉक" के विचार से चीजों को बहुत अनौपचारिक नहीं छोड़ना होगा।
यदि आपको तकनीकीताओं को पसंद नहीं है, तो आप अगले खंड पर जा सकते हैं, जहां आप उदाहरण देखेंगे।
तो, पूरा विचार एक दिए गए फ़ंक्शन \(f(x)\) को एकीकृत करना है।तो हमें खोजने की जरूरत है:
\[\int f(x) \, dx\]कहें कि फ़ंक्शन \(f(x)\) सिर्फ कोई फ़ंक्शन नहीं है, और इसमें एक निश्चित विशिष्ट संरचना है, विशेष रूप से
\[f(x) = g(h(x))h'(x)\]और मान लें कि एक फ़ंक्शन \(G(x)\) है, इसलिए \(G'(x) = g(x)\) (इसलिए \(G\) \(g\) का एंटीडिवेटिव है)।फिर, हमें वह मिलता है
\[\int f(x) \, dx = \int g(h(x))h'(x) \, dx = G(h(x)) + C\]ऐसा क्यों है??? खैर, सरल: परिभाषा के अनुसार, एक एंटीडरिव एक फ़ंक्शन है ताकि जब आप इसे अलग करते हैं, तो आपको उस फ़ंक्शन को मिलते हैं जो आप एकीकृत कर रहे हैं।
इस मामले में, यदि आप \( G(h(x)) \) को अलग करते हैं तो आपको मिलता है
\[\displaystyle \frac{dG(h(x)}{dx} = G\,'(h(x))h'(x) = g(h(x))h'(x)\]श्रृंखला नियम द्वारा ..... और शाजम!तुम्हारे पास है।आपको बताया कि यह कठिन नहीं था।
प्रतिस्थापन विधियों के उदाहरण
सीखने के बारे में जाने का सबसे अच्छा तरीका कैसे एकीकृत करना है अभ्यास करना है।कुछ लोग सबूत देखने से प्रसन्न होंगे, लेकिन अधिकांश लोग अभ्यास में चीजों को देखना चाहते हैं।
तो, चलो व्यावहारिक आधार में आगे बढ़ें।
उदाहरण 1
निम्नलिखित अनिश्चित अभिन्न:
\[\int x \sin(x^2)\,dx\]उत्तर:
चरण 1 के अनुसार, हम एक ब्लॉक, एक बहुत ही विशिष्ट ब्लॉक की तलाश में हैं।यदि आप अभिन्न को देखते हैं, तो एकीकरण चर \(x\) है।
इस तकनीक का उपयोग करते समय, संभावित रूप से बहुत सारे परीक्षण और त्रुटि होती है।कहें कि हम निम्नलिखित ब्लॉक पर विचार करते हैं:
\[u = x^2\]हम जानते हैं कि यह ब्लॉक अच्छा है क्योंकि इसका व्युत्पन्न \(u' = 2x\) है, जो अभिन्न अंग में दिखाई देता है।
लेकिन फिर आप कहते हैं, "मैं \(x\) देखता हूं लेकिन मुझे 2 नहीं दिखाई देता है"।खैर, उगने की कोई आवश्यकता नहीं है।हम एक चाल कर सकते हैं।उसका अवलोकन करो
\[\displaystyle \int x \sin(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int 2x \sin(x^2)\,dx\]आप कौन हैं, Mandrake जादूगर ???एक तरफ चुटकुले, वह छोटी चाल काम करता है।तो, ब्लॉक प्रतिस्थापन है
\[u = x^2\] \[du = 2x \, dx\](\(du = 2x \, dx\) का नोटेशन अनुमेय और तकनीकी रूप से गलत है, लेकिन इसमें ठोस नींव है, इसलिए इसके साथ सहन करें)।इसलिए इस प्रतिस्थापन को अभिन्न अंग को बदलना
\[\displaystyle \int x \sin(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int 2x \sin(x^2)\,dx \] \[\displaystyle = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du \] \[\displaystyle = -\frac{1}{2} \cos(u) + C \] \[\displaystyle = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \]इसलिए, एक बार जब आप नए चर \(u\) में बदल गए, तो अभिन्न \(\sin(u)\) के अभिन्न को हल करने के लिए एक आसान हो गया।एक बार जब आप इसे हल कर लेंगे, तो आपको मूल चर पर वापस आना याद रखना चाहिए।
उदाहरण 2
अब, आइए थोड़ा और जटिल उदाहरण में जाएं।अनिश्चितकालीन अभिन्न गणना करें
\[\int e^{x+e^x} \,dx\]यू-प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना।
उत्तर:
यह आप क्या कहते हैं ???खैर, यह कठिन नहीं है।ध्यान दें कि अनिश्चित अभिन्न को फिर से लिखा जा सकता है:
\[\int e^{x+e^x} \,dx = \int e^x e^{e^x} \,dx \]तो, अब जब आप उस फ़ंक्शन का नया रूप देखते हैं जो आप एकीकृत कर रहे हैं, तो क्या आप "ब्लॉक" या "यू-प्रतिस्थापन" के साथ आ सकते हैं ??
याद रखें, परीक्षण और त्रुटि करने का शर्मिंदा न हों।अगर कुछ काम नहीं करता है, तो कुछ और कोशिश करें।क्या होगा यदि आपने \(u = e^x\) की कोशिश की?
ब्लॉक का व्युत्पन्न \(u' = e^x\) है, जो मूल कार्य में एक बार पाया जाता है।इसके अलावा:
\[u = e^x\] \[du = e^x \, dx\]तो हमें मिलता है:
\[\large \int e^{x+e^x} \,dx = \int e^x e^{e^x} \,dx \] \[\large = \int e^{e^x} e^x \,dx \] \[\large = \int e^{u} \,du \] \[\large = e^{u} + C\] \[\large = e^{e^x} + C\]प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण के बारे में अधिक जानकारी
आइए इसका सामना करते हैं: एकीकरण कठिन हो सकता है।वास्तव में मुश्किल है।कुछ-बहुत-जटिल कार्यों (कम से कम दिखने से) ने गणितज्ञों को निपटने के लिए एक कठिन समय दिया है।
कुछ अन्य गैर-जटिल कार्य (कम से कम फिर से दिखने से) प्राथमिक तरीकों से ही हल करने योग्य नहीं हैं।
तो, आप बेहतर मानते हैं कि एकीकरण एक कठिन परीक्षा हो सकता है।तो आपको तैयार जाना है।
सबसे आसान औजारों में से एक, और आमतौर पर उपयोग की जाने वाली तकनीक प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की तकनीक है।हां, इसका उपयोग किया जाता है क्योंकि यह अक्सर परीक्षण या होमवर्क पर दिखाई देता है।
लेकिन हमने थोड़ा सा धोखा दिया।हकीकत में, प्रतिस्थापन तकनीक द्वारा हल करने के लिए सही संरचना है जो बहुत विशिष्ट हैं।इसका कारण आप इसके बहुत सारे उदाहरण देखते हैं क्योंकि वे बहुत विशिष्ट कार्य हैं जो उस तकनीक के साथ एकीकृत होने के लिए काम करने के लिए हैं।
लेकिन मुझे ब्लंट होने की अनुमति दें: यदि आपके पास एक सॉफ़्टवेयर प्रोग्राम है जो यादृच्छिक कार्यों को उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, और यह आपके लिए एक उत्पन्न करता है, संभावना है कि आप प्रतिस्थापन तकनीक का उपयोग करने में सक्षम होंगे स्लिम।
फिर भी, यह एक शक्तिशाली छोटी एकीकरण तकनीक है जो इंटीग्रल के एक बहुत ही विशिष्ट वर्ग के लिए काम करती है।
यू-प्रतिस्थापन तकनीक क्या है?
अपरिभाषी इंटीग्रल के साथ 𝘶-प्रतिस्थापन प्रतिस्थापन विधि के लिए एक और नाम है।इसे "𝘶-प्रतिस्थन" कहा जाता है क्योंकि उपयोग किए जाने वाले ब्लॉक को \(u\) नाम दिया गया है, इसलिए नया चर यू होगा।
यह निश्चित रूप से एक अच्छा नाम नहीं है, क्योंकि आपके ब्लॉक के लिए चुनने वाला नाम अभिन्न कंपिंग की प्रक्रिया के लिए पूरी तरह से अप्रासंगिक है।आप ब्लॉक (और अपने नए चर) \(z\) को कॉल कर सकते हैं और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।