आंशिक अंश अपघटन
आंशिक अंश अपघटन एक तकनीक है जो एकीकरण सरल बनाने के लिए उपयोग की जाती है, एकीकृत करने के लिए आसान कई कार्यों के योग में फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए हार्ड को विघटित करके।
अक्सर आंशिक अंशों का उपयोग करके एक अभिन्न अंग का उपयोग करने का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है, अन्यथा हल करना असंभव होगा।
विशेष रूप से, यह तकनीक तब लागू होती है जब हमें दो polynomials \(P(x)\) और \(Q(x)\) के उद्धरण को एकीकृत करने की आवश्यकता होती है।यह है, हमें गणना करने की आवश्यकता है।
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]उदाहरण के लिए, कहें कि \(P(x) = x^2 - 2\) और \(Q(x) = x^3 - 7x + 6\), इसलिए इन दो बहुपदों के उद्धरण का अभिन्न अंग होगा:
\[\large \displaystyle \int \frac{x^2 - 2}{x^3 - 7x + 6} dx\]बिल्ली आप इसे कैसे हल करते हैं, आप सोच सकते हैं ..... पहली नजर में यह अव्यवस्थित दिखता है, और यह है कि यदि आप सही दृष्टिकोण का पालन नहीं करते हैं।
सौभाग्य से, हर बार जब आप दो बहुपदों के उद्धरण को एकीकृत करने की कोशिश कर रहे हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उन बहुपक्षीय कितने जटिल हैं, हमेशा अभिन्न को हल करने के लिए आसान के एक गुच्छा के अभिन्न को कम करने का एक तरीका है।
केवल, ऐसा करने के लिए, हमें पहले कुछ बीजगणितीय काम करने की आवश्यकता है, लेकिन दो बहुपदों को विभाजित करना और कुछ रैखिक प्रणाली को हल करना होगा।
अभिन्न को हल करने के लिए हल करने और अन्यथा असंभव के लिए भुगतान करने के लिए यह एक छोटी सी कीमत है, है ना?कृपया हाँ कहे।
उदाहरण 1
मुझे आपको एक टीज़र देने दो।क्या आप आगे बढ़ सकते हैं और इसे एकीकृत कर सकते हैं?
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 - 7x + 6} dx\]हम्म ..... क्या आप?खैर, यह आसान, या यहां तक कि संभव नहीं दिखता है।क्या होगा अगर मैंने तुमसे कहा था
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 - 7x + 6} = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{20(x+3)}\]तो, जिस अंश को आप एकीकृत करना चाहते हैं वह तीन में विघटित हो गया आंशिक हिस्सा , और इन आंशिक भिन्नताओं में से प्रत्येक वास्तव में एकीकृत करना आसान है।दरअसल, उपरोक्त अपघटन का उपयोग करने से हमें लगता है
\[\large \displaystyle \int\frac{1}{x^3 - 7x + 6} \, dx = \int \frac{1}{5(x-2)} \, dx - \int\frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{1}{20(x+3)} \, dx\] \[\large \displaystyle = \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{20}\ln|x+3| + C\]तो, आप मुझसे सहमत हो सकते हैं कि अपघटन ने समस्या को हल किया, क्योंकि अपघटन को जानने के बाद, एकीकरण समस्या को तीन बहुत ही सरल इंटीग्रल तक कम कर दिया गया था।
अब आप सीखेंगे कि इस तरह के अपघटन कैसे करें।
आंशिक अंशों को अपघटन कैसे करें?
चरण 1
सबसे पहले, यह तकनीक केवल तब काम करती है जब आप दो बहुपदों के एक उद्धरण को एकीकृत करना चाहते हैं।यह है, आप एकीकृत करना चाहते हैं
\[\large \displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx\]जहां \(P(x)\) और \(Q(x)\) बहुपद हैं। हदम हम्मा यह मनुष्य हिंसा \(Q(x)\) का शब्द \(P(x)\) के क्रम से अधिक है ।
यदि यह मामला नहीं है, और \(P(x)\) का क्रम \(Q(x)\) के आदेश से अधिक है, तो आप पॉलिनेमियल के विभाजन के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं
\[\large P(x) = M(x)Q(x) + R(x)\]जहां \(M(x)\) और \(R(x)\) एक बहुपद है, और \(R(x)\) का क्रम \(R(x)\) के क्रम से कम है, जिसका मतलब यह होगा कि
\[\large \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = M(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]तो फिर \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) को एकीकृत करने का कार्य एक बहुपद \(M(x)\) (जो तुच्छ है) को एकीकृत करने के कार्य में कम हो जाता है और बहुपद \(\displaystyle\frac{R(x)}{Q(x)}\) के एक उद्धरण को एकीकृत करता है जहां संख्यात्मक में बहुपद के पास denominator में एक से कम क्रम होता है।
चरण 2
आपको denominator \(Q(x)\) में बहुपद की जड़ों को खोजने की जरूरत है और बहुतायत के साथ रैखिक और वर्गबद्ध शर्तों में अपघटन का संचालन करें, और बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा वर्णित।
इस चरण में बीजगणित के बारे में कुछ ज्ञान की आवश्यकता है।मान लें कि \(Q(x)\) आदेश का बहुपद है \(n\)।इसलिए हमें \(Q(x) = 0\) को हल करने की आवश्यकता है, और बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, बिल्कुल \(n\) जड़ें, शायद सभी असली, लेकिन शायद कुछ जटिल हैं।इसके अलावा, प्रत्येक रूट के लिए एक निश्चित बहुतायत है (रूट की संख्या की संख्या दोहराई जाती है)
इन जड़ों के साथ हम \(Q(x)\) को विघटित करेंगे।प्रत्येक वास्तविक रूट \(\alpha\) के लिए, अपघटन में संबंधित कारक \((x-\alpha)\) है।यदि इस रूट के लिए एक बहुभाषी \(k\) है (यह है, रूट \(k\) बार दोहराया जाता है), अपघटन में कारक \((x-\alpha)^k\) होगा।
अब, एक जटिल रूट \(c\) होने पर यह थोड़ा मुश्किल है।उस स्थिति में हमेशा एक संयुग्मित जटिल रूट, \(\bar c\), और उन लोगों को समूहबद्ध करना होगा, हम वास्तविक गुणांक के साथ एक वर्गिक अभिव्यक्ति \((x-c)(x - \bar c) = (x^2 + ax + b)\) के साथ समाप्त हो जाएंगे।
यदि उस जटिल जड़ में एक बहुतायत \(k\) है, तो कारक \((x^2 + ax + b)^k\) होगा।
चरण 3
चरण 2 में पाए गए कारकों को लें, प्रत्येक कारकों के लिए आप कुछ शर्तें बनाएंगे जो आंशिक अंशों के योग में योगदान देंगे।
फॉर्म के प्रत्येक कारक के लिए \(x + a\): एक शब्द \(\displaystyle \frac{A}{x+a}\) जोड़ें
फॉर्म के प्रत्येक कारक के लिए \((x + a)^k\): शर्तें \(\displaystyle \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_2}{(x+a)^2} + ... + \frac{A_1}{x+a}+\frac{A_k}{(x+a)^k}\) जोड़ें
फॉर्म के प्रत्येक कारक के लिए \(x^2 + ax + b\): एक शब्द \(\displaystyle \frac{A + B x}{x^2+ax+b}\) जोड़ें
फॉर्म के प्रत्येक कारक के लिए \((x^2 + ax + b)^k\): शर्तें \(\displaystyle \frac{A_1 + B_1 x}{x^2+ax+b} + \frac{A_2 + B_2 x}{(x^2+ax+b)^2} + ...+ \frac{A_k + B_k x}{(x^2 + ax + b)^k} \) जोड़ें
चरण 4
इन आंशिक अंशों को एक साथ जोड़ें, और इसे उद्धरण \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) पर बराबर करें, और चरण 3 में बनाए गए सभी अज्ञात स्थिरांक \(A_i\) और \(B_i\) को खोजने के लिए इसका उपयोग करें।
चरण 5
चरण 4 में स्थिरांक पाए जाने के बाद, आपने कुछ शब्दों में उद्धरण \(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}\) को विघटित किया है, जिन्हें लॉगरिदम के माध्यम से एकीकृत किया जा सकता है, या आपको चर का एक साधारण परिवर्तन करने की आवश्यकता है।
और आपने धीरज के लंबे बीजगणितीय अभ्यास के बाद, एक बड़ी संख्या में छोटे, आंशिक अंशों के लिए अभिन्न को हल करने के लिए एक असंभव को सुलझाने का कारोबार किया है।
उदाहरण 2
आंशिक अंशों का उपयोग करके निम्नलिखित को एकीकृत करें
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} dx\]उत्तर:
धैर्यपूर्वक, हमें सभी चरणों के माध्यम से जाना होगा।
चरण 1
इस मामले में \(P(x) = x\) और \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\), इसलिए \(P(x)\) का क्रम 1 है, और \(Q(x)\) का क्रम 2. है। इसलिए, स्थिति पूरी की जाती है, क्योंकि \(P(x)\) का क्रम \(Q(x)\) के क्रम से कम है।
चरण 2
आइए \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\) की जड़ें ढूंढें, इसलिए हमें हल करने की आवश्यकता है
\[\large x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{(4 +12}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[\large \displaystyle \Rightarrow x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]तो फिर, जड़ों \(x_1 = 1\) और \(x_2 = -3\) हैं।तब कारक \((x-1)\) और \((x+3)\) हैं।निरीक्षण करें कि \(Q(x) = x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\)
चरण 3
कारक \((x-1)\) के लिए हम आंशिक अंश \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) जोड़ते हैं और कारक \((x+3)\) के लिए हम आंशिक अंश \(\displaystyle \frac{B}{x+3}\) जोड़ते हैं।
चरण 4
अब हम सभी आंशिक अंशों को जोड़ते हैं और उन्हें बहुपद के मूल उद्धरण के साथ जोड़ते हैं, ताकि स्थिरांक \(A\) और \(B\) के लिए हल करने के लिए,
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}\] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \] \[\large \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{A(x+3) + B(x-1)}{x^2 + 2x - 3} \] \[\large \Rightarrow x = A(x+3) + B(x-1) \] \[\large \Rightarrow x = Ax + 3A + Bx - B \] \[\large \Rightarrow x = (A+B)x + (3A - B) \]निरीक्षण करें कि अंतिम समानता इंगित करती है कि बाईं ओर बहुपद दाईं ओर बहुपद के समान है, सभी \(x\) के लिए।तो फिर, उनके गुणांक बराबर होना चाहिए।
इसका मतलब है कि \(A+B = 1\) और \(3A - B = 0\)।इस आखिरी में से, \(B = 3A\), तो फिर \(A + 3A = 1\), जिसका अर्थ है \(4A = 1\) तो \(A = 1/4\), और \(B = 3/4\)।
तो हम अपने आंशिक अंशों के विस्तार के लिए पहुंचे हैं:
\[\large \displaystyle \frac{x}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/4}{x+3} = \frac{1}{4(x-1)} + \frac{3}{4(x+3)} \]चरण 5
अब आप आसानी से एकीकृत करने का आनंद ले सकते हैं:
\[\large \displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 2x - 3} \, dx= \int \frac{1}{4(x-1)} \, dx + \int\frac{3}{4(x+3)} \, dx \] =\[\large \displaystyle \frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{3}{4} \ln|x+3| + C\]उदाहरण 3
आंशिक अंशों के अपघटन का उपयोग करके निम्नलिखित शब्द को एकीकृत करें
\[\large \displaystyle \int \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} dx\]उत्तर:
फिर, हमें सभी चरणों के माध्यम से जाने की जरूरत है।
चरण 1
इस मामले में \(P(x) = 1\) और \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\), इसलिए \(P(x)\) का क्रम 0 है, और \(Q(x)\) का क्रम 3. है। इसलिए, स्थिति पूरी की जाती है, क्योंकि \(P(x)\) का क्रम \(Q(x)\) के क्रम से कम है।
चरण 2
आइए \(Q(x) = x^3 -x^2 + x - 1\) की जड़ें ढूंढें, इसलिए हमें हल करने की आवश्यकता है
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = 0 \]यह एक कठिन है, क्योंकि सामान्य घन जड़ों के लिए एक आसान सूत्र नहीं है (एक सूत्र है, लेकिन यह आसान नहीं है)।हमें एक चाल करने की जरूरत है:
\[\large x^3 -x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1) = 0 \]तो हमारे पास \(x^2 + 1=0\) या \(x-1 = 0\) है।इसलिए, जड़ें \(x_1 = 1\), \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) हैं।फिर, \(x_1\) असली है, \(x_2\) और \(x_3\) जटिल संयुग्म जड़ें हैं।
रूट \(x_1 = 1\) में एक कारक \((x-1\) है, और जटिल संयुग्म जड़ों \(x_2 = i\), \(x_3 = -i\) में एक कारक \((x-i)(x+i) = (x^2+1)\) है।
चेणु 3
कारक \((x-1)\) के लिए हम आंचिक अंकित \(\displaystyle \frac{A}{x-1}\) जोड़ते हैं और कारक \((x^2+1))\) के लिए हम आंचिक अंकित \(\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+1}\) जोड़ते हैं।
चेणु 4
अब हधारा आंचिक अंशों को जोड़ते हैं, उतर दिया गया हुप्पद के उतने उद्धरण के साथ जुड़ते हैं, तैकांकांकक \(A\) और \(B\) के लिए हल करने के लिए,
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\] _ Xyz_b_ _Xyz_c__ __Xyz_d_ _Xyz_e__ _ Xyz_f _निरीशण करने के लिए यह भीतता है कि बाईन और बहुपद दिंक और बहुपद के सच है, सबी \(x\) के लिए लि.ति फिर, उसके गणेशक बरबर होना चहि।
इसका मटलब है कि \(A+B = 0\), \(C - B = 1\) और \(A - C = 0\)। इस अंतरम एक, \(A = C\), और \(A = -B\) से, लुइए हम उस \(A = 1/2\), \(B = -1/2\) और \(C = -1/2\) prapt करने के लिए।
तो हदम अपेने आंचिक अंशों के विकास के लिए विस्तार है:
\[\large \displaystyle \frac{1}{x^3 -x^2 + x - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{(x + 1)}{2(x^2 + 1)}\]चेणु 5
अब आप आकाश से एककटेना का आनंद लेने के लिए:
_ Xyz_a__ _ Xyz_b _ _ Xyz_c _आंचिक अंश अपरटन के बारे में अधिकृत प्राणी
आंशिक अंशों का उपयोग करने की तकनीक एक आशीर्वाद है,क्योंकि वे आपको वास्तव में एक एकीकरण को संभव बनाने के लिए सेवा प्रदान करते हैं जो अन्यथा संभव नहीं होगा।
लेकिन,जब आप इसे होमवर्क या परीक्षण में देखते हैं,तो आप जानते हैं कि आपके पास आंशिक अंशों को आपके लिए काम करने के लिए बहुत सारे काम हैं.तो मेरी सलाह धीमी गति से जाना है और जब आप सभी ग्रंट काम कर रहे हैंतो इस जड़ी न करें।
यांत्रिकी
आंशिक अंशों का संचालन अपघटन आपके लिए आपकी टोपी से बाहर निकलने के लिए कई बीजगणितीय कौशल की मांग करेगा, अर्थात्: बहुपदों को विभाजित करें, बहुपदों की जड़ें ढूंढें और उचित अपघटन संरचना को व्यक्त करने में सक्षम होने के शीर्ष पर, उचित अपघटन संरचना को व्यक्त करने में सक्षम होने के शीर्ष पर, विभिन्न मामलों को संभालने के शीर्ष पर.विभिन्न जड़ें, दोहराई गई जड़ें) .तो आपको अपने बीजगणितीय कौशल के साथ टिप-टॉप आकार में होना चाहिए।
अंत में,यह बहुत या या करने के लिए लगभग थकाऊ है.आखिरकार,आप अपने लिए आंशिक अंश विस्तार प्राप्त करने के लिए मेपल या मैथमैटिका जैसे सीएएस का उपयोग कर सकते हैं,लेकिन यदि आपके पास कोई परीक्षण है तो संभवतः आपका प्रशिक्षक आपको किसीभी एड्स के साथ करना चाहागा, ताकि आप के लिए बेहतरर आप के लिए।