नमूना विचरण

नमूना विचरण \(s^2\) वितरण के लिए फैलाव को मापने के सबसे आम तरीकों में से एक है। जब डेटा का एक नमूना \(X_1, X_2, ...., X_n\) दिया जाता है, तो नमूना विचरण नमूना माध्य के संबंध में नमूना मानों के फैलाव को मापता है।

आप नमूना विचरण की गणना कैसे करते हैं?

अधिक विशेष रूप से, नमूना विचरण की गणना नीचे दिए गए सूत्र में दर्शाई गई है:

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

उपरोक्त सूत्र में यह है वर्गों का योग शीर्ष पर \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \) और नीचे स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या \(n-1\)।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने का तरीका सरल है:

• आप एक तालिका सेट करते हैं, जिसमें दिए गए डेटा के लिए एक कॉलम होता है \(X_i\)
• आप नमूना माध्य \(\bar X\) की गणना करते हैं
• नमूना माध्य को \(X_i\) डेटा के बगल वाले कॉलम में रखें (नमूना माध्य को नमूने के प्रत्येक पद के बगल में रखें)
• एक कॉलम बनाएं जहां आप नमूना डेटा और नमूना माध्य के घटाव की गणना करें: \(X_i - \bar X\)
• एक कॉलम बनाएं जहां आप पिछले कॉलम का वर्ग गणना करें: (\(X_i - \bar X\))^2
• इस अंतिम कॉलम के मानों को जोड़ें
• आपको जो परिणाम मिला उसे \(n-1\) से विभाजित करें।

आप एक्सेल का उपयोग करके नमूना विचरण की गणना कैसे करते हैं?

ध्यान रखें कि आपको इसकी आवश्यकता है नमूना माध्य की गणना करें उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने के लिए पहले \(\bar X\) दर्ज करें। आप एक्सेल का उपयोग करके विचरण की गणना कर सकते हैं =वीएआर() फ़ंक्शन, लेकिन हमारा लाभ यह है कि यह चरणों के साथ एक विचरण कैलकुलेटर है। साथ ही, ध्यान दें कि यदि आप विचरण का वर्गमूल लेते हैं, तो आपको जो मिलता है वह नमूना मानक विचलन है।

एक अधिक परिचालनात्मक स्वरूप

लोग शिकायत करते हैं कि विचरण की गणना करने के लिए उन्हें पहले नमूना माध्य की गणना करनी होगी, और उसके बाद उन्हें विचलन की गणना करनी होगी, और यह सब। लेकिन, क्या नमूना माध्य की गणना किए बिना, नमूना विचरण की तुरंत गणना करने का कोई तरीका है?

आप शर्त लगा सकते हैं कि वहाँ है। अक्सर लोग सोचते हैं कि उन्हें इसका उपयोग करने की आवश्यकता है माध्य और विचरण सूत्र अनिवार्य रूप से, लेकिन ऐसा नहीं है। आप नमूना माध्य की गणना किए बिना सीधे नमूना विचरण की गणना करने का तरीका नीचे देख सकते हैं

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

नमूना विचरण उपयोगी क्यों है इसके कारण

• बड़े नमूना आकारों के लिए, नमूना विचरण जनसंख्या विचरण का एक अच्छा अनुमानक है

वर्णनात्मक सांख्यिकी कैलकुलेटर जिनकी आपको आवश्यकता हो सकती है

यदि इसके बजाय, आप सभी वर्णनात्मक आँकड़ों की चरण-दर-चरण गणना प्राप्त करना चाहते हैं, तो आप हमारा प्रयास कर सकते हैं वर्णनात्मक सांख्यिकी कैलकुलेटर , जो आपको सभी सबसे सामान्य वर्णनात्मक सांख्यिकी प्रदान करेगा, जिसमें केंद्रीय प्रवृत्ति और फैलाव के माप गणना के सभी चरणों को दर्शाएंगे।

इसके अलावा, यदि आप पूर्ण फैलाव के विपरीत सापेक्ष फैलाव में रुचि रखते हैं, तो आप हमारे भिन्नता गुणांक कैलकुलेटर , जो आपको बताता है कि फैलाव कितना बड़ा है माध्य के सापेक्ष आपको इसकी आवश्यकता क्यों है? क्योंकि मानक विचलन वह है जिसे पूर्ण फैलाव माना जाता है। लेकिन फैलाव कितना बड़ा है यह केवल इस बात पर निर्भर करेगा कि यह माध्य के सापेक्ष कितना बड़ा है।

आवेदन उदाहरण

प्रश्न दिए गए नमूना डेटा के लिए: 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18, नमूना विचरण की गणना करें।

समाधान:

हमें नमूना विचरण की गणना करने की आवश्यकता है। ये नमूना डेटा प्रदान किए गए हैं:

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

अब, हमें सभी नमूना मानों का वर्ग करना होगा जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है:

अवलोकन:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

इसलिए, नमूना विचरण की गणना नीचे दिखाए अनुसार की जाती है:

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

इसलिए, उपलब्ध कराए गए डेटा के आधार पर, नमूना विचरण \(s^2 = 22.8625 \) है।