बीजगणित ट्यूटोरियल

जियोमेट्रिक अनुक्रम

ए तमाम संख्याओं का एक अनुक्रम है जिसमें संपत्ति है कि दो लगातार तत्वों के बीच का अनुपात स्थिर है, एक निश्चित मूल्य \(r\)के बराबर है।इस मान को सामान्य अनुपात के रूप में भी जाना जाता है।

एक वास्तविक जीवन की समस्या में, आपको एक प्रारंभिक मूल्य \(a\)दिया जाएगा, और निरंतर अनुपात \(r\)जो अनुक्रम में लगातार मूल्यों के बीच संरक्षित है।आपका कार्य होगा तमामेयस इस दी गई जानकारी का उपयोग करना।

मैं एक ज्यामितीय अनुक्रम को कैसे हल करूं?

मान लें कि पहला कार्यकाल \(a\)है।फिर, अगला कार्यकाल \(a r\)है, और अगला \(ar^2\)है।और इसी तरह।

इसलिए, दूसरे शब्दों में, हम पहले शब्द \(a\)के साथ शुरू करते हैं, और अगला कार्यकाल हमेशा पिछले शब्द को \(r\)द्वारा गुणा करके पाया जाता है।

तो पहला कार्यकाल \(a_1 = a\)है।

दूसरा कार्यकाल \(a_2 = a r\)है।

तीसरा शब्द \(a_3 = a r^2\)है।

जियोमेट्रिक अनुक्रम सूत्र

उपरोक्त उदाहरण को देखकर, क्या होता है कि प्रारंभिक मान \(a\) प्रत्येक चरण में एक अतिरिक्त \(r\) द्वारा गुणा किया जाता है।इसलिए, सामान्य एन ^वां शब्द है

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

इसका मतलब यह है कि \(n\)चरणों को आगे बढ़ाने के बाद, हमें लगता है कि अनुक्रम में संबंधित संख्या \( a_n = a r^{n-1}\)है।यह ज्यामितीय श्रृंखला पैटर्न के लिए सूत्र है, और आपको सभी की आवश्यकता है कि फॉर्मूला में \(a\) और \(n\) के मानों को प्लग करना है।

तो, आप एक ज्यामितीय अनुक्रम में nth शब्द कैसे पाते हैं?

संक्षेप में, एक ज्यामितीय अनुक्रम में nth शब्द को खोजने के लिए, आपको एक ज्यामितीय अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए जानकारी के दो टुकड़ों की आवश्यकता होती है: आपको प्रारंभिक शब्द \(a\), और निरंतर अनुपात \(r\)की आवश्यकता होती है।

फिर, ज्यामितीय अनुक्रम की लगातार शर्तें पिछले शब्द को \(r\)द्वारा गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।उदाहरण के लिए, 3, 6, 12, 24, ... एक ज्यामितीय अनुक्रम है क्योंकि प्रारंभिक मान \(a = 3\)है और फिर प्रत्येक बाद का मान पिछले मान को \(r = 2\)द्वारा गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

इसके अलावा, उदाहरण के लिए, आप अपने आप से पूछ सकते हैं कि 1 2 4 8 16 के लिए नियम क्या है, और क्या यह ज्यामितीय अनुक्रम है।ठीक है, हमारे पास है कि प्रारंभिक मान \(a = 1\)है, और प्रत्येक अगला मान पिछले मान को XYZB #द्वारा गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

तंगरी 1: अफ़रिश

प्रारंभिक शब्द \(10\), और \(r = 1/2\)के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम के 6 वें कार्यकाल का पता लगाएं।

उत्तर:

तो, आप कैसे करते हैं अफ़स्या ?प्रदान की गई जानकारी के आधार पर, हमारे पास ज्यामितीय अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त जानकारी है।वास्तव में, हमारे पास पहला शब्द \(a = 10\)है, और हमारे पास निरंतर अनुपात \(r = 1/2\)है।

सामान्य एन ^वां शब्द है

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

तो फिर 6 ^वां शब्द है

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

क्या सामान्य अनुपात नकारात्मक हो सकता है?

हां बिल्कुल।निरंतर अनुपात \(r\) नकारात्मक हो सकता है।उदाहरण के लिए, हमारे पास प्रारंभिक शब्द \(a_1 = 1\)और निरंतर अनुपात \(r = -2\)के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम हो सकता है।तो, दूसरा कार्यकाल \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\), और इसी तरह है।

तो, यह बिल्कुल एक ही नियम है: निम्नलिखित शब्द के लिए, हम पिछले शब्द को निरंतर अनुपात \(r\)से गुणा करते हैं, भले ही निरंतर अनुपात नकारात्मक हो।

तंग 2

प्रारंभिक शब्द \(3\), और \(r = -2\)के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम का 5 वां कार्यकाल खोजें।

उत्तर:

हमारे पास ज्यामितीय अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त जानकारी है, क्योंकि हमारे पास पहला शब्द \(a_1 = 3\)है, और हमारे पास निरंतर अनुपात \(r = -2\)है।

सामान्य एन ^वां शब्द (नकारात्मक निरंतर अनुपात के साथ)

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

तो फिर 5 ^वां शब्द है

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

आप हमारा उपयोग कर सकते हैं तमाम तपदरी ऊपर जो मिला है उसे दोहराने के लिए, जो एक स्पष्ट सूत्र कैलकुलेटर है।

तंग 3

अनुक्रम 1, 1/2, 1/4, 1/16 पर विचार करें ... क्या यह अनुक्रम ज्यामितीय है?

उत्तर:

किसी दिए गए अनुक्रम को ज्यामितीय होने के लिए, शर्तों को एक सामान्य अनुपात की आवश्यकता होती है।इस मामले में, दूसरे कार्यकाल को पहले कार्यकाल से विभाजित करते हुए हमें \((1/2)/1 = 1/2\)मिलता है।

फिर, अगर हम तीसरे को दूसरे कार्यकाल से विभाजित करते हैं: \((1/4)/(1/2) = 1/2\)।अब तक तो सब ठीक है।

अब, अगर हम चौथे को तीसरे कार्यकाल से विभाजित करते हैं: \((1/16)/(1/4) = 1/4\)।यह विफल रहा।यह एक ज्यामितीय श्रृंखला नहीं है, क्योंकि इसका एक सामान्य अनुपात नहीं है (अनुपात पहले दो शब्दों के लिए 1/2 है, लेकिन फिर यह 1/4 है, इसलिए यह स्थिर नहीं है)।

इसलिए, अनुक्रम एक ज्यामितीय अनुक्रम नहीं है।

ज्यामितीय अनुक्रमों के बारे में अधिक

पंचलाइन आपको ध्यान में रखने की आवश्यकता है।ज्यामितीय अनुक्रम का सूत्र क्या है?सरल

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

जहां \(a\) प्रारंभिक शब्द है और \(r\) निरंतर अनुपात (या सामान्य अनुपात, जैसा कि इसे भी कहा जाता है) है।

कुछ कैलकुलेटर हैं जिनका आप उपयोग करना चाहते हैं जो ज्यामितीय अनुक्रम की अवधारणा से संबंधित हैं, या तमाम , जैसा कि इसे भी कहा जाता है।

• पहले आप हमारी जांच कर सकते हैं अफ़मण , जो एक ज्यामितीय अनुक्रम के अनंत शब्दों को प्रस्तुत करता है।यह राशि अच्छी तरह से परिभाषित (अभिसरण) होगी यदि निरंतर अनुपात ऐसा है कि \(|r| < 1\)।

• इसके अलावा, आप हमारा उपयोग करना चाहेंगे तमाम , जो एक निश्चित परिमित मूल्य तक, एक ज्यामितीय अनुक्रम में शब्दों के योग की गणना करता है।यह राशि निरंतर अनुपात \(r\)पर शर्तों के बिना अच्छी तरह से परिभाषित की गई है, बशर्ते कि हम अनुक्रम के एक परिमित शब्द में जोड़ें।