घातीय क्षय सूत्र
एक्सपोनेंशियल डेके फॉर्मूला बहुत उपयोगी है और यह व्यवहार में कई अनुप्रयोगों में प्रकट होता है, जिसमें रेडियोधर्मी क्षय का मॉडलिंग भी शामिल है।
इस ट्यूटोरियल में हमारा मुख्य उद्देश्य घातीय क्षय सूत्र के बारे में सीखना है, इसे कब लागू करना है और इसके मापदंडों से कैसे निपटना है।
बीजगणितीय रूप से बोलना, an घातीय क्षय अभिव्यक्ति रूप की कोई अभिव्यक्ति है
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]जहां \(k\) एक वास्तविक संख्या है जैसे कि \(k > 0\), और साथ ही \(A\) एक वास्तविक संख्या है जैसे कि \(A > 0\)।
आमतौर पर, पैरामीटर \(A\) को कहा जाता है आरंभिक मूल्य , और पैरामीटर \(k\) को कहा जाता है क्षय स्थिरांक या क्षय दर .
उदाहरण के लिए
\[\large f(x) = e^{-x} \]तथा
\[\large g(x) = e^{-2x} \]दोनों घातीय क्षय वाले कार्यों के अनुरूप हैं।
घातीय क्षय वाले वे कार्य रेखांकन कैसे दिखते हैं? इसे नीचे देखें:
एक बात जो हम देख सकते हैं वह यह है कि दोनों कार्य वास्तव में तेजी से DECAY करते हैं।
DECAY से हमारा क्या तात्पर्य है ??? वे क्षय होते हैं, इस अर्थ में कि वे तेजी से शून्य के करीब पहुंच जाते हैं क्योंकि \(x\) बड़ा और बड़ा हो जाता है (\(x \to +\infty\))।
दरअसल, \(x > 4\) कहने के बाद दोनों कार्य बहुत छोटे हैं (ग्राफ लगभग y-अक्ष को छूता है)।
इसके अलावा, अगर हम ध्यान दें, तो हमें पता चलता है कि \(e^{-2x}\) \(e^{-x}\) की तुलना में तेजी से घटता है।
प्रश्न :
नीचे कार्य करता है:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]घातीय क्षय है???
उत्तर है, हाँ।
यद्यपि आप शुरू में सोच सकते थे: "ठीक है, यह घातीय क्षय नहीं है, क्योंकि मुझे कहीं भी '\(e\)' दिखाई नहीं दे रहा है ..."। तो, यह बहुत चौकस है।
लेकिन, यह मत भूलिए कि हम लिख सकते हैं
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]तो समारोह
\[\large f(x) = 2^{-x}\]के रूप में फिर से लिखा जा सकता है
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]उपरोक्त गणना साबित करती है (खांसी, खांसी, क्षमा करें मुझे पता है कि आपको वह शब्द पसंद नहीं है) कि \(2^{-x}\) क्षय स्थिरांक \(k = \ln 2\) के साथ घातीय क्षय वाला एक फ़ंक्शन है।
उदाहरण 1:
निम्नलिखित फ़ंक्शन के लिए प्रारंभिक मान और क्षय दर ज्ञात करें:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]उत्तर:
दिए गए फ़ंक्शन के आधार पर, हम सीधे प्राप्त करते हैं कि इस मामले में प्रारंभिक मान \(A = 3\) है और क्षय दर \(k = -4\) है।
उदाहरण 2:
निर्धारित करें कि क्या नीचे दिए गए व्यंजक में घातांकीय क्षय है, और यदि ऐसा है, तो इसका प्रारंभिक मान और क्षय दर ज्ञात कीजिए:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]उत्तर:
ध्यान दें कि हम अभिव्यक्ति में सीधे '\(e\)' नहीं देखते हैं, लेकिन यह मत भूलो कि हम लिख सकते हैं
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]तो समारोह
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]के रूप में फिर से लिखा जा सकता है
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]इसलिए, यह घातीय क्षय वाला एक फ़ंक्शन है, और इसके पैरामीटर हैं: प्रारंभिक मान \(A =\frac{1}{2}\) और घातीय क्षय \(k = 2(\ln 3)\)।
अनुप्रयोग: एक घातीय सूत्र के मापदंडों को कैसे खोजें
अक्सर बार हमें केवल घातीय क्षय पैरामीटर नहीं दिए जाते हैं। हां। कभी-कभी उन मापदंडों की गणना प्रदान की गई कुछ जानकारी से की जानी चाहिए, और फिर आपको इस बारे में चिंता करने की ज़रूरत है कि घातीय क्षय को कैसे हल किया जाए
वह जानकारी आमतौर पर निम्नलिखित दो प्रकारों में से एक में दी जाती है:
श्रेणी 1:
हम जानते हैं कि घातांकीय क्षय होता है, और हमें प्रारंभिक मान दिया जाता है और
हाफ लाइफ
टाइप 2:
हम जानते हैं कि घातीय क्षय है, और हमें समय में दो अलग-अलग बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान दिया जाता है।
हाफ-लाइफ के बारे में नोट्स
हाफ-टाइम उस समय से मेल खाता है जब घातीय क्षय के साथ एक फ़ंक्शन अपने मूल्य को उसके मूल मूल्य के आधे तक ले जाता है।
तो, मान लीजिए कि \(h\) \(f(x) = A e^{-kx}\) का आधा जीवन है और \(A\) ज्ञात है। हम क्षय दर \(k\) की गणना कैसे करते हैं ?? ध्यान दें कि जब \(x = h\) हमारे पास शुरू में जितना था, उसका आधा हिस्सा हमारे पास होगा:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]और इसे हल करने की ओर जाता है
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]वास्तविक समस्या पर काम करते समय आप या तो सीधे सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या केवल अर्ध-जीवन के बारे में जानकारी सेट करके हमने जो व्युत्पत्ति की है, वह कर सकते हैं।
उदाहरण 3:
मान लें कि किसी फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान \(A = 3\) है, और इसका आधा जीवन \(h = 3\) है। इसके अलावा, मान लें कि फ़ंक्शन में घातीय क्षय है। घातीय क्षय दर ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
इस प्रकार, हमें जिस प्रकार की जानकारी दी जा सकती है, उसका यह पहला मामला है। घातीय क्षय सूत्र को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए हमें प्रारंभिक मान \(A\) और क्षय दर \(k\) खोजने की आवश्यकता है।
इस मामले में, हमें पहले से ही \(A = 3\) दिया गया है, इसलिए हमारे पास केवल क्षय स्थिरांक \(k\) की गणना करना बाकी है। चूंकि हम आधा जीवन जानते हैं, हम सीधे सूत्र का उपयोग करके क्षय दर की गणना कर सकते हैं:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]इसलिए, घातीय क्षय सूत्र है
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]उदाहरण 4:
मान लें कि किसी फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान \(A = 5\) है, और जब \(x = 4\) हमारे पास \(f(4) = 2\) है। इसके अलावा, मान लें कि फ़ंक्शन में घातीय क्षय है। घातीय क्षय सूत्र ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
इस प्रकार, हमें जिस प्रकार की जानकारी दी जा सकती है, उसका यह पहला मामला है। घातीय क्षय सूत्र को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए हमें प्रारंभिक मान \(A\) और क्षय दर \(k\) खोजने की आवश्यकता है।
इस मामले में, हमें दिया गया है कि \(A = 5\), और फिर हमें केवल गणना करना है कि क्षय स्थिरांक \(k\) है। चूंकि \(x = 4\) होने पर हम फ़ंक्शन का मान जानते हैं:
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]तो अब जब हमने क्षय कारक की गणना कर ली है, तो हम पाते हैं कि घातीय क्षय सूत्र है
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]यदि हम इस फ़ंक्शन को रेखांकन करते हैं तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:
घातीय क्षय के बारे में अधिक
घातांकीय क्षय एक ऐसा मॉडल है जिसमें घातांकीय कार्य एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है और यह एक बहुत ही उपयोगी मॉडल है जो कई वास्तविक जीवन अनुप्रयोग सिद्धांतों को फिट करता है। घातीय क्षय का सबसे प्रसिद्ध अनुप्रयोग रेडियोधर्मी पदार्थों के व्यवहार से संबंधित है।
दरअसल, रेडियोधर्मी सामग्री एक घातीय क्षय समीकरण का अनुसरण करती है, और प्रत्येक सामग्री में (अपनी अस्थिरता के आधार पर) इसका आधा समय होता है, जो कि रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा को आधा करने में लगने वाले समय की मात्रा है।
आमतौर पर, रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र इस प्रकार लिखा जाता है
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]या कभी-कभी इसे अर्ध-आयु \(h\) के रूप में व्यक्त किया जाता है
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]घातीय क्षय का क्या अर्थ है?
गणितीय रूप से, किसी फ़ंक्शन का घातांकीय क्षय होता है यदि इसे \(f(x) = A e^{-kx}\) के रूप में लिखा जा सकता है। आप में से कई लोगों के लिए, यह बहुत अधिक नहीं कहेगा।
ठीक है, यह ठीक है, इसलिए हम घातीय क्षय का वर्णन कर सकते हैं। घातीय क्षय होने के कारण, आप सोच सकते हैं, इसका अर्थ है "वास्तव में तेजी से क्षय होना"। जबकि घातीय क्षय के साथ कार्य वास्तव में तेजी से क्षय होता है, वास्तव में तेजी से क्षय होने वाले सभी कार्यों में घातीय क्षय नहीं होता है।
उदाहरण के लिए, \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) पर विचार करें। यदि आप इस फ़ंक्शन को रेखांकन करते हैं, तो आप देखेंगे कि यह वास्तव में तेजी से क्षय होता है, लेकिन वास्तव में इसका घातीय क्षय नहीं होता है।
यदि आप इसकी परिभाषा के बीजगणितीय शब्दों से परे, घातीय क्षय का वर्णन करना चाहते हैं, तो आपको यह कहना होगा कि एक फ़ंक्शन में घातीय क्षय होता है यदि यह वास्तव में तेजी से क्षय होता है, लेकिन इसकी एक महत्वपूर्ण संपत्ति भी है:
एक निश्चित बिंदु \(x\) पर फ़ंक्शन के मान के बावजूद, एक मान \(h\) मौजूद होता है ताकि \(x+h\) बिंदु पर फ़ंक्शन के मान का मान \(x\) पर फ़ंक्शन के मान का आधा हो।
क्रम शब्दों में, एक स्थिर मान है \(h\) (हाँ, आपने अनुमान लगाया, आधा जीवन) जिसमें यह गुण है कि फ़ंक्शन \(h\) इकाइयों के बाद इसके मूल्य को आधा कर देता है।
फ़ंक्शन \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), भले ही यह तेजी से क्षय हो, उपरोक्त (आधा जीवन) संपत्ति नहीं है।