统计教程 - Z分数

假设\(X\)具有正态分布,平均\(\mu\)和标准偏差\(\sigma\)。这通常是写入的

\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]

然后,这 z得分 与\(X\)相关联定义为

\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]

例子：考虑随机变量\(X\),作为正常分布,平均\(\mu = 34 \)和标准偏差\(\sigma = 4\)。计算\(X = 41\)的z分数。

回答：

Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]

z分数代表什么？

z分数给出了随机变量\(X\)从其平均值\(\mu\)的措施提供了多远。这项措施不是任意,它表明 多少标准偏差 \(X\)的值远离\(\mu\)。换句话说,1.75的Z分数表示\(X\)的值与其平均值的标准偏差为1.75。由于Z分数是正的,这意味着\(X\)的值为1.75标准偏差,其右侧是其平均值的偏差,更精确。

应用示例： 彼得上周采取了金融考试,他得到了89/100。他班上的平均值为77,标准偏差为15.上周詹娜花了她的数学测试,她得到了84/100。她的班级的平均值是75,标准偏差为5.他们争论谁做得更好,你认为相对于他们的班级做得更好？

回答： 我们需要使用z分数。对于我们有彼得

\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]

另一方面,对于珍娜：

\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]

与珍纳的得分测试相关的Z分数高于与彼得得分测试相关的Z-Score试验,这意味着Jenna相对于她的班级比彼得更好。