方差分析教程
在本周的教程中,我们将讨论以下主题 方差分析 .请参阅下面的相关示例问题列表,以及步骤 sy 步骤解决方案。
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样本方差分析问题
问题 1： 方差分析用于评估重复测量的平均差异 研究性学习。结果报告为 F(3,24)=6.40。
一种。研究中比较了多少治疗条件？
湾有多少人参与了这项研究？
解决方案： (a) 有 3+1 = 4 个处理条件。
(b) 个体总数为 3 + 24 + 1 = 28。
问题2： 以下数据代表比较三种治疗的独立测量研究的结果。
一种。 计算一组 3 个处理方法的 SS。 （使用这三个均值作为一组 n = 3 个分数并计算 SS。）
湾 使用 a 部分的结果,计算 n (SSmeans)。请注意,该值等于 SS 之间（见公式 13.6）。
C。 现在,使用 T 值（公式 13.7）通过计算公式计算 SSbetween。您应该获得与 b 部分相同的结果。
解决方案： (a) 我们得到 \(\bar{M}=\frac{2+3+7}{3}=4\)
意思就是
\[S{{S}_{Means}}={{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-4 \right)}^{2}}=4+1+9=14\]
(b) 这意味着 \(n*S{{S}_{Means}}=10\times 14=140\)。
(c) 另一方面,我们得到
\[S{{S}_{Between}}=\frac{{{20}^{2}}}{10}+\frac{{{30}^{2}}}{10}+\frac{{{70}^{2}}}{10}-\frac{{{120}^{2}}}{30}=140\]
问题 3：
管道爆裂对房屋造成的损坏维修起来可能很昂贵。当发现泄漏时,数百加仑的水可能已经淹没了房屋。自动截止阀可以防止管道故障造成的大面积水损坏。阀门包含传感器,可在发生泄漏时切断水流,从而防止洪水泛滥。一项重要特性是传感器检测到漏水所需的时间（以毫秒为单位）。从四个不同的截止阀获得的样本数据包含在文件 Waterflow 中。
一种。生成相关的方差分析表并进行假设检验,以确定四个截止阀模型之间的平均检测时间是否不同。使用 0.05 的显着性水平。
湾样本间变异的来源是什么？
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阀门 1 |
阀门 2 |
阀门 3 |
阀门 4 |
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10 |
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解决方案： 下表是从提供的数据中得到的
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笔记 |
阀门 1 |
阀门 2 |
阀门 3 |
阀门 4 |
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28 |
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10 |
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25 |
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11 |
14 |
22 |
18 |
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意思 |
14.6 |
16.1 |
25.5 |
17.5 |
|
圣德夫。 |
3.406 |
2.558 |
2.461 |
2.677 |
我们想测试
\[H_0: \,\mu_{1}= \mu_{2}= \mu_{3}= \mu_{4}\]
\[H_A: \operatorname{Not all the means are equal}\]
使用上表中的数据,我们可以计算以下值,这些值是构建方差分析表所需的。我们有：
\[SS_{Between}=\sum\limits_{i=1}^{k}{n}_{i} {\left( {\bar{x}}_{i}-\bar{\bar{x}} \right)}^{2}\]
and therefore\[SS_{Between}={10}\left({14.6}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({16.1}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({25.5}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({17.5}-{18.425}\right)^2=709.475\]
Also,\[SS_{Within} = \sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {n}_{i}-1 \right) s_{i}^{2}}\]
我们从中得到
\[SS_{Within}=\left({10}-1\right) \times {3.406}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.558}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.461}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.677}^2=282.3\]
Therefore\[MS_{Between}=\frac{SS_{Between}}{k-1}= \frac{{709.475}}{3}= {236.492}\]
以同样的方式得到
\[MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{N-k}= \frac{{282.3}}{36}= {7.842}\]
因此,F 统计量计算为
\[F=\frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} = \frac{{236.492}}{{7.842}}= {30.1583}\]
\(\alpha ={0.05}\),\(df_{1} = 3\) 和 \(df_{2}= {36}\) 的临界值由下式给出
\[F_C = {2.8663}\]
和相应的 p 值是
\[p=\Pr \left( {{F}_{3,36}}> {30.1583} \right) = {0.000}\]
观察到 p 值小于显着性水平 \[\alpha =0.05\],因此我们拒绝 \({{H}_{0}}\)。因此,我们有足够的证据在 0.05 的显着性水平上拒绝均值相等的原假设。
总而言之,我们有以下方差分析表：
|
来源 |
SS |
df |
多发性硬化症 |
F |
p值 |
暴击。 F |
|
组间 |
709.475 |
3 |
236.492 |
30.1583 |
0.000 |
2.8663 |
|
组内 |
282.3 |
36 |
7.842 |
|||
|
全部的 |
991.775 |
39 |
||||
(b) 样本之间的平方和为 709.475。