什么是序列的极限？
一个序列 \(a_n\) 对应于形式为无限数组或数字列表
\[a_1, a_2, a_3, ....\]其中 \(a_1, a_2, a_3, ...\) 是实数。例如,序列
\[a_n = \frac{1}{n}\]由列表表示
\[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ....\]因为当 \(n\) 取值 1,2,3 等时,这些是表达式 \(a_n = \frac{1}{n}\) 取的值。
序列的收敛
通常难以掌握的一个概念是序列的收敛性。虽然这个想法非常简单：如果序列的值越来越接近 \(a\)（实际上它们尽可能接近我们想要的）,则序列 \(a_m\) 收敛到值 \(a\),因为 \(n\) 接近无穷大。
例如： 序列 \(a_n = 1/n\) 是这样的
\[a_n = \frac{1}{n} \to 0\]因为随着 \(n\) 接近无穷大,\(1/n\) 的值变得“尽可能接近于我们想要的零”。
收敛的正式定义：
序列 \(a_n \to a\) 为 \(n \to \infty\),否则表示为 \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\),如果
• 对于所有 \(\varepsilon >0\),存在 \(n_0\) 使得 \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)
这就是说,无论您希望序列与 \(a\) 多近,序列中总会有一个点,使得所有比该点更远的点都足够接近 \(a\)。换句话说 序列的收敛并没有说明序列的某些数量足够接近极限 \(a\),而是表明如果我们深入到序列中,if 的所有值都将足够接近。
极限代数
一旦我们知道了一些限制,操作限制就没有那么复杂了。事实上,有一些简单的规则允许基于更简单的限制计算更复杂的限制。这些规则如下所示：
如果 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) 和 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) 那么我们有：
(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)
(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)
(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)
（其中属性 (3) 与 \(b \ne 0 \) 一样长。）
例子： 限制
\[\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1}\]是通过首先将分子和分母同时乘以 \(\frac{1}{n^2}\) 来计算的,这意味着
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}= \frac{1}{1} = 1\]因为 \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\)。