关于衍生品的更多信息（第 2 部分）

符号： 函数 \(f(x)\) 的导数 \(f'(x)\) 也表示为

\[\frac{df}{dx} (x)\]

这个符号来自这样一个事实,即当你计算导数时,你计算

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

术语 \(f(x)-f(x_0)\) 通常被称为 \(\Delta f\),而术语 \(x-x_0\) 被称为 \(\Delta x\)。所以,有时,在一些书（特别是物理书）中,你会找到定义

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\] Theorems to calculate Derivatives

现在是介绍重炮的时候了。在实践中,你不会计算极限

\[f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

常常。知道如何做到这一点非常重要,但在大多数情况下,这不是必需的。

例子： 计算函数 \(f(x)=x^3+x^2\) 的导数。

解决方案： 我们在这里做什么,我们是否应用限制来计算导数？好吧,你的推理应该如下：函数 \(f(x) = x^3+x^2\) 对应于 \(x^3\) 和 \(x^2\) 的总和。直觉是,如果我可以计算每一项的导数 分别地 ,然后我可以简化计算。

换句话说,如果我知道 \(x^3\) 的导数是什么,并且我也知道 \(x^2\) 的导数是什么,那么我应该知道 \(x^3+x^2\) 的导数是什么.....

\(\star\) 事实上,你做 .我们有以下定理：

定理： 两个函数和的导数

假设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 可微的 在 \(x_0\) （这意味着导数存在于该点）。然后,我们有

\[ \frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{df}{dx}(x) + \frac{dg}{dx}(x) \]

换句话说,求和的导数就是导数的和（这些不是空话,它们确实准确地描述了结果）。这通常被称为 导数的线性特性

现在我们展示一个结果,它将帮助我们计算很多导数：

定理： 以下适用于所有 \(n\ne 0\)：

\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \]

证明： 我们不会做任何太深的事情,只是为了让您免于致命的无聊,但让我们做这件事来感受一下。根据定义

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{x^n- x_0^n}{x-x_0}\] \[= \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{(x- x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0 + ...+ xx_0^{n-2} +x_0^{n-1})}{x-x_0} = \displaystyle\lim_{x\to x_0}(x^n+x^{n-1}x_0 + ...+ xx_0^n +x_0^n) \] \[ = x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_0 + ...+ x_0x_0^{n-2} +x_0^{n-1} = n x_0^{n-1}\]

那么,让我们回到寻找 \(f(x) = x^3+x^2\) 的导数的问题。使用导数的线性我们发现

\[\frac{d}{dx}(x^3+x^2) = \frac{d}{dx} x^3 + \frac{d}{dx}x^2 = 3x^2 + 2x\]

让我们回想一下 \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\),因此将其分别应用于 \(n=3\) 和 \(n=2\) 情况,我们得到了先前的结果。可以用更通用的方式编写 Linearity 属性：

定理： 假设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 可微的 在 \(x_0\) 和 \(a\) 和 \(b\) 是常量。然后

\[ \frac{d}{dx}(af(x)+ bg(x)) = a\frac{df}{dx}(x) + b\frac{dg}{dx}(x) \]

下面我们展示了一个如何应用这个结果的例子：

例子： 计算函数 \(f(x)=3 x^3+2 x^{1/2}\) 的导数。

解决方案： 使用线性,我们得到