Коммутативное свойство сложения
Коммутативное свойство сложения - одно из важнейших предположений, сделанных в математике, которое вы, вероятно, принимаете как должное и используете все время, даже не подозревая об этом.
Идея коммутативности вращается вокруг порядка операции. Вопрос в том, есть ли у меня это
\[\large a + b = b + a\]для любого числа \(a\) и \(b\)? Для вас это может быть глупый вопрос. Типа "что ты имеешь в виду, конечно". Но коммутативность верна не для ВСЕХ операций. Но это верно для обычного сложения чисел.
Есть ли доказательства коммутативности сложения? Технически нет, потому что это скорее аксиома для действительных чисел как алгебраического поля.
Тем не менее, понимая, как действует сложение, легко СОГЛАСИТЬСЯ с тем, что коммутативность имеет смысл, и, следовательно, мы принимаем эту аксиому.
Например, вполне логично думать, что \(3 + 4\) - это то же самое, что \(4 + 3\). Почему это ?? Из-за того, как мы мысленно проводим сложение: это похоже на счет 3 (скажем, пальцами), а затем мы считаем 4.
Таким образом, мы полагаем, что в конечном итоге мы посчитаем одинаковое количество пальцев, даже если мы посчитаем 4 первых и 3 вторых.
Это хороший способ увидеть это. И главная идея состоит в том, что коммутативность НЕ предоставляется, и у некоторых операций она будет, а у других - нет.
Другие операции, обладающие коммутативностью
Обща ли коммутативность? Да, в значительной степени. Но не на всех операциях он есть. Даже самые обычные. Например, умножение чисел коммутативно. Это у нас есть
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]для всех действительных чисел \(a\) и \(b\). Хорошо, значит, коммутативность сохраняется для всех обычных операций? Не все. Например, ни вычитание, ни деление чисел не коммутативны. Действительно, в целом
\[\large a - b = \not b - a\]и равенство выполняется только тогда, когда \(a = b\). Так, например, \(3 - 1 = 2\) и \(1 - 3 = -2\) не равны. Итак, вычитание чисел не коммутативно. Удивлен? Что ж, теперь вы это знаете.
Также по разделу у нас есть это в целом
\[\large a / b = \not b / a\]и равенство выполняется только тогда, когда \(a = b\). Так, например, \(6 / 3 = 2\) и \(3 / 6 = 1/2\) не равны. Итак, деление чисел не коммутативно.
ПРИМЕР 1
Рассмотрим следующую операцию между действительными числами \(a\) и \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]Коммутативна ли эта операция?
ОТВЕЧАТЬ:
Поскольку сложение и умножение действительных чисел коммутативно, мы имеем, что
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]откуда следует, что операция \(\odot\) коммутативна.
ПРИМЕР 2
Теперь рассмотрим следующую операцию между действительными числами \(a\) и \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]Коммутативна ли эта операция?
ОТВЕЧАТЬ:
Заметить, что
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]так что тогда
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]что в общем случае не равно нулю. Следовательно, это означает, что операция \(\odot\) теперь НЕ коммутативна.
Подробнее о коммутативном свойстве дополнения
Итак, коммутативность кажется очень очевидной для сложения чисел, а также для умножения чисел. Но справедливо ли это для всех операций, которые мы можем придумать? Быстрый ответ: Абсолютно нет.
Нам не нужно заходить слишком далеко, чтобы найти примеры операций, которые не являются коммутативными. Например, рассмотрим умножение матриц. Вы можете быть удивлены этим, но умножение матриц НЕ коммутативно.
Другими словами, у вас могут быть матрицы \(A\) и \(B\), для которых \(A \cdot B = \not B \cdot A\). Не верите? Проверьте это: подумайте
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]Тогда в этом случае мы имеем
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]а также
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]что говорит о том, что в целом НЕ верно, что \(A \cdot B = B \cdot A\).
Вы можете узнать больше о свойство коммутативности а также о ассоциативное свойство . Эти два свойства являются краеугольным камнем структуры действительных чисел.