Вопрос 1: Формулы для линии наименьших квадратов были найдены путем решения системы уравнений

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\sum{y}\]

\[b\left( \sum{x} \right)+m\left( \sum{x^2} \right)=\sum{xy}\]

Решите эти уравнения относительно b и m, чтобы показать, что

\[\begin{align} & m=\frac{n\left( \sum{xy} \right)-\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)}{n\left(\sum{{{x}^{2}}} \right)-{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}} \\ & b=\frac{\sum{y-m\left( \sum{x}\right)}}{n} \\ \end{align}\]

Решение: Из

\[ nb+m\left( \sum{x} \right)=\sum{y}\]

\[b\left( \sum{x} \right)+m\left( \sum{x^2} \right)=\sum{xy}\]

у нас есть два уравнения и две неизвестные (m и b)

Мы получаем это, умножая первое уравнение на \(\left( \sum{x} \right)\), а второе на -n, мы получаем

\[\begin{align} & nb\left( \sum{x} \right)+m{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}=\left( \sum{y}\right)\left(\sum{x} \right) \\ & -nb\left( \sum{x} \right)-mn\left( {{\sum{x}}^{2}}\right)=n\sum{xy} \\ \end{align}\]

и теперь добавляем это:

\[m\left( {{\left( \sum{x} \right)}^{2}}-n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right) \right)=\left( \sum{x} \right)\left(\sum{y} \right)-n\left( \sum{xy} \right)\]

\[\Rightarrow \,\,\,\,m=\frac{\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)-n\left( \sum{xy} \right)}{{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}-n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right)}=\frac{n\left( \sum{xy} \right)-\left( \sum{x} \right)\left( \sum{y} \right)}{n\left( {{\sum{x}}^{2}} \right)-{{\left( \sum{x} \right)}^{2}}}\]

Теперь из этого уравнения:

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\left( \sum{y} \right)\]

мы можем решить для б :

\[nb+m\left( \sum{x} \right)=\left( \sum{y} \right)\,\,\Rightarrow \,\,\,nb=\left( \sum{y} \right)-m\left( \sum{x} \right)\,\Rightarrow \,\,\,b=\frac{\left( \sum{y} \right)-m\left( \sum{x} \right)}{n}\]

Вопрос 2: Определите коэффициент корреляции и создайте график линии регрессии с коэффициентом регрессии для следующего набора данных.

Лесные пожары и сожженные участки. Количество пожаров и выгоревших акров следующие.

Пожары (x)	72	69	58	47	84	62	57 год	45
Акры (и)	62	41 год	19	26	51	15	30	15

Решение: (а) Получена следующая диаграмма рассеяния:

Основываясь на диаграмме рассеяния выше, мы видим, что существует умеренная или сильная степень положительной линейной связи.

(b) С другой стороны, у нас есть следующая таблица, в которой показаны расчеты, необходимые для вычисления корреляции Пирсона:

Корреляция Пирсона r вычисляется как

\[r = \frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}^{2}}}} = \frac{8 \times {17216}-{494}\times {259}}{\sqrt{8\times {31692}-{494}^{2}}\sqrt{8\times 10513-{259}^{2}}}\]

\[=0.7692\]

(c) Коэффициент детерминации равен

\[{{r}^{2}}={0.7692}^{2}= {0.5917}\]

это означает, что 59,17% вариации Acres (y) объясняется Fires (x).

(d) Коэффициенты регрессии вычисляются

\[b=\frac{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}} \right)-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}=\frac{8 \times {17216}-{494}\times {259}}{8 \times {31692}-{494}^{2}}= 1.0297\]

and

\[a=\bar{y}-b \bar{x}={32.375}{+} {1.0297}\,\cdot \, {61.75} = {-31.208}\]

Это означает, что уравнение регрессии

\[\hat{y}= {-31.208}{+}{1.0297}\,x\]

Graphically:

Вопрос 3: Вы провели исследование, чтобы определить, коррелированы ли среднее время, проводимое в компьютерном классе каждую неделю, и оценка за компьютерный курс. Какой вывод вы бы сделали по этому вопросу, используя приведенные ниже данные?

student	# hours in lab	Course Grade
1	20	96
2	11	51
3	16	62
4	13	58
5	89
6	15	81
7	10	46
8	10	51

Решение: В следующей таблице показаны расчеты, необходимые для вычисления Пирсона. корреляция r : Мы получаем

Корреляция Пирсона r вычисляется как

\[r = \frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}{\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\sqrt{n\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}} \right)-{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}} \right)}^{2}}}} = \frac{8 \times {7925}-{112}\times {534}}{\sqrt{8\times {1660}-{112}^{2}}\sqrt{8\times 38224-{534}^{2}}}\]

\[=0.9217\]

Мы хотим проверить значимость коэффициента корреляции. В частности, мы хотим протестировать

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\rho {=} 0 \\ {{H}_{A}}:\rho {\ne} 0 \\ \end{align}\]

Чтобы проверить нулевую гипотезу, мы используем t-тест. T-статистика вычисляется как

\[t= r \sqrt{\frac{n-2}{1-{{r}^{2}}}}= {0.9217} \times \sqrt{\frac{6}{1-{0.9217}^2}}= {5.8198}\]

Двустороннее p-значение для этого теста вычисляется как

\[p=\Pr \left( |{{t}_{6}}|>5.8198 \right)=0.0011\]

С \(p = 0.0011 {<} 0.05\) , а это означает, что мы отвергаем нулевую гипотезу H ₀ .

Следовательно, у нас есть достаточно доказательств, чтобы поддержать утверждение о том, что корреляция между количеством часов в лаборатории и оценкой курса значительно отличается от нуля.