Основная концепция производных финансовых инструментов
Представьте, что у вас есть функция \(f(x)\). Например, у вас может быть что-то вроде \(f(x) = x^2\) или, может быть, что-то вроде \(f(x) = \sin x\). Определим производную функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) как
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]если предел существует. Прежде чем вы будете жаловаться, говоря: "Что это, черт возьми?" позвольте мне сказать вам кое-что, это не сложно, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, пара замечаний о том, что это за предел.
- Производная \(f'(x)\) также функция (если он определен).
- Производная вычисляется в заданной точке \(x_0\) с использованием указанного выше предела. Если этот предел существует, и только если он существует, мы говорим, что производная хорошо определена в точке \(x_0\) a, и она записывается как \(f'(x_0)\)
- Другими словами, производную \(f'(x)\) можно рассматривать как функцию, которая зависит от исходной функции \(f(x)\) и вычисляется по точкам.
- Вот и все, что вам сейчас нужно знать (серьезно!).
Обратите внимание, что понятие производной в данной точке \(x_0\) интерпретируется как мгновенная скорость изменения функции в этой точке. Это достигается путем вычисления средняя скорость изменения для интервала шириной \(\Delta x\), и принимая это \(\Delta x\), когда оно приближается к нулю.
Пришло время привести несколько изящных примеров, чтобы понять, что происходит:
Пример : Вычислить производную функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\)
Решение : Мы просто используем определение и заменяем соответствующие термины. Посмотрим, что у нас получится:
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2}\]Мы просто заменили \(f(x) = x^2\) и \(x_0 = 2\) в исходном определении производной. Теперь, заметив, что \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\), мы находим, что
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}= \lim_{x\to 2} (x+2) = 4\]В следующем уроке мы узнаем больше о том, как вычислять производные.
(Перейти к обучающим материалам Производные 2 )