Построитель графиков экспоненциальной функции

Этот инструмент построения графиков позволяет построить график одной экспоненциальной функции или сравнить график двух экспоненциальных функций. Эти экспоненциальные функции будут иметь вид:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

Чтобы получить график, вам просто нужно указать параметры \(A_0\) и \(k\) для одной или двух функций (в зависимости от того, хотите ли вы построить график одной функции или хотите сравнить две функции).

Но как найти экспоненциальную функцию из точек?

Технически, чтобы найти параметры, нужно решить следующую систему уравнений:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Решение этой системы для \(A_0\) и \(k\) приведет к уникальному решению при условии, что \(t_1 = \not t_2\).

Действительно, разделив обе части уравнений:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Чтобы решить для \(A_0\), мы замечаем из первого уравнения, что:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Как построить график экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция указанной выше формы будет иметь характерную экспоненциальную форму, и ее общий вид будет зависеть от того, является ли коэффициент \(r\) положительным или отрицательным.

Для положительной ставки \(r\) будем иметь экспоненциальный рост , а при отрицательной ставке \(r\) будет экспоненциальный спад .

Каковы основные характеристики экспоненциальных графиков?

У них очень специфическая форма, так как они очень быстро растут или распадаются (в зависимости от знака \(r\)). Типов графиков в данном случае не так уж и много. Только быстрый (экспоненциальный) спад или быстрый (экспоненциальный) рост.