Подробнее о производных финансовых инструментах
Во второй части этого урока мы поработаем над другими немного более сложными примерами.
Пример: Учитывая функцию \(f(x) = x^3 + 2x+1\), вычислите производную \(f'(x)\) для каждой точки, где она определена.
Решение: Обратите внимание, что в этой задаче они не дают нам конкретной точки для вычисления производной. Нам нужно вычислить в произвольной точке \(x_0\). Как мы это делаем? Что ж, мы просто следуем определению:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]а теперь мы используем определение \(f(x)\). Фактически получаем:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Теперь воспользуемся небольшим и изящным алгебраическим трюком:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]А теперь обратите внимание. Мы используем этот небольшой трюк в последней части вычисления производной и обнаруживаем, что
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]Как видите, мы можем отменить \(x-x_0\) и, наконец, получаем
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]Другими словами, производная функция \(f'(x) = 3x^2+2\). Понимаете? Это то, что я имел в виду, когда сказал, что производная также является функцией. В этом случае производная хорошо определена для всех \(x\in \mathbb R\).
Да, это правда, что нам потребовались уловки для вычисления производной. Итак, как вы собираетесь это делать ?? Позвольте мне сказать вам кое-что: вы не будете вычислять производные вручную, как это большую часть времени. В следующем уроке я познакомлю вас с некоторыми инструменты, которые упрощают расчет производных финансовых инструментов .
Итак, подожди до следующего.