Как найти обратную функцию
Многие приложения в алгебре и исчислении зависят от знания того, как найти обратную функцию, и это тема данного руководства.
Прежде всего, вам нужно понять, что перед тем, как найти инверсию функции, вы должны убедиться, что такая инверсия существует.
Преимущество метода поиска обратного, который мы будем использовать, заключается в том, что мы найдем обратное и выясним, существует ли оно одновременно.
Готовый?? Тогда пристегнитесь.
Как узнать, есть ли у функции инверсия?
Технически функция имеет инверсию, когда она взаимно однозначна (инъективна) и сюръективна.
Однако решающим условием является то, что она должна быть взаимно однозначной, потому что функцию можно сделать сюръективной, ограничив ее диапазон своим собственным изображением.
Как узнать, что функция взаимно однозначна?
Что ж, есть как минимум пара способов. Один из них - алгебраический, а другой - графический (держу пари, я знаю, какой из них вы предпочитаете, да?)
Алгебраический путь
Для алгебраического подхода, чтобы функция \(f\) была взаимно однозначной, нам нужно доказать, что каждый раз, когда это \(f(x) = f(y)\), нам нужно иметь это \(x = y\).
Другими словами, нам нужно доказать, что
\[f(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y\]
Графический способ
Для графического способа нам нужно использовать проверка горизонтальной линии : Для любой горизонтальной линии, которую мы рисуем, график функции не более одного раза пересекает эту горизонтальную линию.
Графически:
Проходит тест горизонтальной линии
Не проходит тест горизонтальной линии
В поисках обратного
Чтобы найти обратную функцию для заданной функции \(f(x)\), необходимо решить уравнение.
Действительно, у вас есть уравнение \(f(x) = y\), вы берете \(y\) как заданное число, и вам нужно решить его для \(x\), и вам нужно убедиться, что решение УНИКАЛЬНО.
Это все. Легко, правда ??
Теперь о практических шагах:
Шаг 1:
Для заданного \(y\) задайте уравнение:
и решите его для \(x\).
Шаг 2:
Обязательно обратите внимание на то, для какого \(y\) существует действительно уникальное решение.
Шаг 3:
Как только вы решите \(x\) в терминах \(y\), это выражение, которое зависит от \(y\), будет вашим \(f^{-1}(y)\).
Шаг 4:
Измените имя переменной с \(y\) на \(x\), и у вас будет обратная функция \(f^{-1}(x)\).
ПРИМЕР 1
Найдите обратную функцию \(f(x) = \sqrt x\)
ОТВЕЧАТЬ:
Итак, мы берем \(y\) как данное, и нам нужно решить \(f(x) = y\), что в данном случае соответствует решению
\[\sqrt x = y\]Обратите внимание, что квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому для решения нам понадобится \(y\ge 0\).
Применяя квадрат к обеим сторонам, получаем, что
\[\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2\] \[\Rightarrow \,\, x = y^2\]Итак, \(f^{-1}(y) = y^2\), переключая имя переменной, мы получаем обратную функцию:
\[f^{-1}(x) = x^2\]для \(x\ge 0\).
ПРИМЕР 2
Найдите обратную функцию \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}\) для \(x > -1\)
ОТВЕЧАТЬ:
Опять же, мы берем \(y\) как дано, и теперь нам нужно решить для \(x\) уравнение \(f(x) = y\). Итак, у нас есть
\[\displaystyle \frac{x}{x+1} = y\] \[\Rightarrow \,\, x = y(x+1)\] \[\Rightarrow \,\, x = yx + y\] \[\Rightarrow \,\, x - yx = y\] \[\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y\] \[\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}\]Итак, \(f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}\), переключая имя переменной, мы получаем обратную функцию:
\[f^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}\]Подробнее о поиске обратной функции
Одним из важнейших свойств обратной функции \(f^{-1}(x)\) является то, что \(f(f^{-1}(x)) = x\).
Подумайте, о чем это говорит. Что-то вроде: "Функция, вычисленная в обратном порядке, дает вам идентичность".
Или, другими словами, вычисление инверсии через функцию похоже на бездействие с аргументом.
Или, как некоторые любят говорить: функция может каким-то образом отменить обратное.
Вы выбираете свою версию.
Как найти обратную квадратичную функцию? Ты можешь?
Собственно, ответ таков: это зависит от обстоятельств. Это потому, что если мы рассмотрим квадратичную функцию по всей реальной линии , то это не один к одному, поскольку он не проходит тест горизонтальной линии, как вы можете видеть на диаграмме ниже:
Не пройдя тест горизонтальной линии, мы можем увидеть, что для данного \(y\) существует более одного значения \(x\), так что \(f(x) = y\), поэтому мы не можем "решить" для \(x\), поскольку существует более одного \(x\).
НО, если вы ограничите домен и рассмотрите, скажем, только положительные числа, мы получим следующее:
который проходит проверку горизонтальной линии, и, следовательно, квадратичная функция обратима.
НРАВСТВЕННОСТЬ ИСТОРИИ: Чтобы проверить, является ли что-то обратимым, речь идет НЕ только о функции. Речь идет о функции И ее домен и диапазон .
Как быстро построить график обратных функций
Всегда существует требование оценки, является ли функция \(f(x)\) обратимой или нет (проверяя, является ли она взаимно однозначной). Но если предположить, что вы знаете, что это обратимо, есть простой способ найти график обратимости.
Сначала изобразите график данной функции \(f(x)\).
Затем нарисуйте линию под углом 45 градусов \(y = x\).
Чтобы построить график \(f^{-1}(x)\), все, что вам нужно сделать, это отразить график \(f(x)\) через линию \(y = x\) под углом 45 градусов, как зеркало.
См. Пример ниже с функциями \(f(x) = \sin x\) и \(f^{-1}(x) = \arcsin x\).
Другой способ увидеть это - использовать оригинал график и измените значение \(x\) на значение \(y\).
Есть ли способ сделать функцию обратной?
Да, это действительно возможно, но это происходит только для функции идентификации, то есть с \(f(x) = x\).