المزيد عن المشتقات
في الجزء الثاني من هذا البرنامج التعليمي , سنعمل على بعض الأمثلة الأخرى الأكثر تعقيدًا.
مثال: بالنظر إلى الوظيفة \(f(x) = x^3 + 2x+1\) , احسب المشتق \(f'(x)\) لكل نقطة يتم تعريفها فيها.
حل: لاحظ أنهم في هذه المسألة لا يعطوننا نقطة محددة لحساب المشتق. نحتاج إلى الحساب عند نقطة عشوائية \(x_0\). كيف نفعل ذلك؟ حسنًا , نحن فقط نتبع التعريف:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]والآن نستخدم تعريف \(f(x)\). في الواقع , نحصل على:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]الآن نستخدم حيلة جبرية صغيرة وأنيقة:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]الآن انتبه. نستخدم هذه الحيلة الصغيرة في الجزء الأخير من حساب المشتقة , ونوجدها
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]كما يمكنك أن تلاحظ , يمكننا إلغاء \(x-x_0\) , ونحصل في النهاية على
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]بمعنى آخر , دالة المشتق هي \(f'(x) = 3x^2+2\). هل ترى؟ هذا ما قصدته عندما قلت إن المشتق دالة أيضًا. في هذه الحالة , يتم تعريف المشتق جيدًا لجميع \(x\in \mathbb R\).
نعم , صحيح أننا احتجنا إلى بعض الحيل لحساب المشتق. لذا , كيف ستفعل ذلك ؟؟ دعني أخبرك شيئًا , لن تقوم بحساب المشتقات يدويًا مثل هذا في معظم الأحيان. في البرنامج التعليمي التالي , سأقدم لك بعضًا منها الأدوات التي تجعل من السهل جدا حساب المشتقات .
لذا , انتظر حتى التالي.