负指数运算
带指数的运算是代数中最基本的运算之一,其中,涉及负指数的运算是给学生带来最多复杂性的运算。
首先,让我们回忆一下基本的指数属性。这些属性的使用在数学的大多数领域中无处不在。规则是：
规则1： \(\large \displaystyle x^0 = 1\),对于 \(x = \not 0\)
规则 2： \(\large\displaystyle x^1 = x\)
第 3 条： \(\large\displaystyle x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)
第 4 条： \(\large\displaystyle \left(x^m\right)^n = x^{mn}\)
规则 5： \(\large\displaystyle \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\)
例如,当你有一个像 \(3^5 \cdot 3^7\) 这样的表达式时,我们知道我们使用乘法规则（规则 3）得到：
\[\large 3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}\]指数规则：负指数会发生什么？
即使您没有意识到,上述规则也没有说指数必须为正数。事实上,它们可能是负面的,规则也将适用。
现在,根据规则 1 和规则 5,我们可以推导出正指数和负指数之间的关系。因此,对于规则 5,假设 \(m = 0\) 和 \(n\) 为正。然后,我们得到
\[\large\displaystyle \frac{1}{x^n} = \frac{x^0}{x^n} = x^{0-n} = x^{-n}\]上面的表达式为我们提供了正指数和负指数之间的简单关系：
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^n} = x^{-n}}\]
上面的表达式告诉我们,我们可以将分子中具有负指数的幂传递给具有相应正指数的分母。这是负指数的一个“规则”
上述公式的美妙之处在于,我们可以将等式两边的项交叉相乘,并且我们可以将上面的表达式写成稍微不同的形式：
\[\large\displaystyle \boxed{\frac{1}{x^{-n}} = x^{n}}\]
最后一个表达式通常非常有用,因为它告诉我们可以将分母中具有负指数但具有相应正指数的幂带入分子。这可以被视为负指数的另一个“规则”。
例 1
简化以下表达式,并且不保留负指数：
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2}\]回答：
使用负指数规则,我们在分子/分母之间切换正/负指数：
\[\large \displaystyle \frac{x^{3}\sqrt{x} y^{-3}}{x^{-1/2} y^2} = \frac{x^{3}\sqrt{x} x^{1/2}}{ y^2 y^{3}}\] \[\large = \frac{x^{3} x^{1/2} x^{1/2}}{ y^2 y^3} = \frac{x^{3+1/2+1/2}}{ y^{2+3}} \] \[\large = \frac{x^{4}}{ y^{5}} \]我们结束了简化,因为没有什么可以简化了。
更多关于负指数
本教程中关于负指数的最大收获之一是我们有将这些负指数转换为正指数的规则。我们怎么做？
• 如果分子中有负指数（因此您要乘以负指数）,我们可以将其传递给具有正指数的分母。
• 如果我们在分母中有一个负指数（所以你除以一个负指数）,我们可以将它传递给具有正指数的分子。
使用负指数运算只是处理主题的一小部分 指数规则 ,这让您清楚地了解为什么负指数的情况会以这种方式工作。