绝对价值
一个数的绝对值对应于它的大小,不考虑它的符号,如果有的话。在几何上,它对应于实线上的点 \(x\) 到原点 \(0\) 的距离
在数学上,数字 \(x\) 的绝对值表示为 \(|x|\)。
由于其解释的几何性质,绝对值被广泛用于代数和其他数学分支,结果证明计算给定数字的绝对值非常容易：您所要做的就是去掉标志,如果有标志。
例 1
计算 \(-8\) 的绝对值。
回答：
正如我们上面提到的,一个数字的绝对值是它的大小,不考虑符号。在这种情况下,通过去掉符号,我们意识到 \(-8\) 的绝对值是 \(8\)。在数学上,我们写 \(|-8| = 8\)。
示例 2
计算 \(4\) 的绝对值。
回答：
我们知道一个数的绝对值就是它的大小,不考虑符号。在这种情况下,没有下降的迹象,所以得到 \(4\) 的绝对值就是 \(4\)。所以,在数学上,我们写 \(|4| = 4\)。
绝对值的数学定义
如果我们所做的只是计算数字的绝对值,那么这种“去掉符号”的想法就足够了。但实际上我们做了更多的事情,这些事情有点复杂,比如绝对值方程和不等式。
在数学上,\(|x|\) 的正式定义如下。
\[|x|=\left\{ \begin{array}{cc} x\text{ } & \,\,\,\text{for }x\ge 0 \\ \\ -x & \,\, \text{ for }x<0 \\ \end{array} \right.\]不用慌张,让我们分析一下上面的定义。简单地说：“检查给定的数\(x\)。如果\(x\)大于或等于0,那么这个数的绝对值就是这个数本身。否则,如果给定的数\(x\)是负数,这个数的绝对值为\(-x\),这相当于将最初给定的数字乘以 \(-1\)。
那么那么,在\(-8\)的情况下,这个数为负,所以乘以\(-1\)得到绝对值,所以我们得到\(|-8|\) = (-1)\times (-8) = 8。就是这样。
现在,这个定义可能看起来有点矫枉过正。毕竟,为什么不坚持使用“放下标志”的方法呢？这是有原因的,这仅仅是因为这种定义绝对值的方式有助于我们处理涉及绝对值的更困难的情况。
例如,如果我要求您解决以下不等式：\(|x^2-4x+10| \ge 0\),您是否可以仅通过“删除符号”来减少它？不完全的。别担心,我们在另一个教程中讨论了涉及绝对值的不等式。
只是想指出为什么我们采取工作对绝对值进行正式定义,并且因为在某些时候我们会需要它,当我们处理涉及绝对值的更复杂的操作时。
绝对值的属性
这些是主要属性：
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\),对于 \(a\) 和 \(b\) 实数
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\),对于 \(a\) 和 \(b\) 实数
平方根的谬误
最后,我想归功于缺失参考的绝对值。是的,它值得称赞。事实上,我们经常在高中甚至大学里看到这样一段含糊不清的陈述：
\[\large \sqrt{x^2} = x\]声明说“平方根抵消平方”。我不会说这是错误的,但是当 \(x\) 为非负时,我会说它是正确的。真实的说法是
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]在那里你有绝对值的恒星外观之一。随着时间的推移,你会意识到它比你想象的更频繁地出现。
更多关于绝对值
绝对值是一个简单的概念,它是一个非常有用的概念,因为它在实际直线上有明确的几何解释：它代表任意点到原点的距离。
虽然对一个数计算它很简单,但还有更复杂的涉及绝对值的运算,例如绝对值方程和不等式。这些需要一个明确的策略来解决,否则你会被难住。
如何找到一个绝对值？
通常,找到给定数字的绝对值并不难：您所要做的就是获得数字的大小,而无需考虑符号。换句话说,为了简单起见,只要看看是否有标志并放下它。
当您计算代数表达式的绝对值时,该过程不太明显,在这种情况下,您需要先将表达式减少为一个数字,然后删除任何有符号的符号。
绝对值的应用
使用绝对值不仅仅是简单地计算数字的绝对值。绝对值具有一些内在属性,使其成为一种无价的分析工具。
例如,绝对值在许多情况下经常出现,例如对于 \(\sqrt{x^2} = |x|\),这通常被认为是理所当然的,因为大多数人会使用 \(\sqrt{x^2} = x\),当 \(x\) 为负时,这是不正确的。
绝对值也出现在几何中（因为差的绝对值代表两点之间的距离）,在积分中以及当我们需要求解时 绝对值不等式 .