扇形的面积公式
指示： 使用这个计算器来计算圆的一个扇形的面积,通过指定其半径r和定义这个扇形的角度,显示所有的步骤。请在下面的方框中输入半径和角度。
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这个计算器将计算圆的一个扇形的面积,显示所有的步骤。你所需要做的就是提供一个有效的半径和角度。半径可以是任何正的数字表达,而角度可以是0到全圆之间的任何数字,可以是弧度或度数。
如果你选择使用度,角度可以在0 ○ 和360 ○ 而如果你选择弧度,角度可以在0和\(2\pi\)之间。
一旦你提供了一个有效的半径和角度,你就可以点击 "计算",你将得到所有需要的步骤,用一个合适的公式计算出相应的扇形面积。
扇形可以被看作是 "比萨饼片",圆是完整的比萨饼,扇形是比萨饼片。另外,很明显,比萨饼越大（半径越大）,切片就越大,切片的开口越大。
如何使用扇形的面积公式？
部门的面积将基于 圆的面积公式 ,当考虑到整个圆的时候。
- 首先,为了给出一个扇形的面积公式,我们需要区分两种情况：角度以弧度为单位,或者角度以弧度为单位。
- 假设角度α的单位是度,让A为相应扇形的面积,r为半径。我们有以下的直接比例。
\[\displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{360}{\pi r^2} \]这个直接比例是说,扇形的面积与角度成正比。对A进行求解,我们得到
\[\displaystyle A = \displaystyle \frac{\pi r^2\alpha}{360}\]- 假设角度α的单位是弧度,让A为相应扇形的面积,r为半径。我们现在有以下的直接比例。
\[\displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{2\pi}{\pi r^2} \]这个直接比例是说,扇形的面积与角度成正比。对A进行求解,我们得到
\[\displaystyle A = \displaystyle \frac{r^2\alpha}{2}\]计算扇形面积的步骤是什么？
- 第1步：确定所提供的角度,非常重要的是,确定所提供的角度是以度还是弧度为单位的
- 第二步：如果角度α的单位是度。使用公式\(\displaystyle A = \displaystyle \frac{\pi r^2\alpha}{360}\)。
- 第三步：如果角度α的单位是弧度。使用公式\(\displaystyle A = \displaystyle \frac{r^2\alpha}{2}\)。
请注意,如果r带有长度单位,面积A将是这些单位的平方。例如,如果半径的单位是英寸,面积的单位就是英寸。 2 .
圆的一个扇形的面积代表什么？
最大的问题是一个部门的面积意味着什么。在这种情况下,解释很简单：扇形的面积是该扇形的大小,就其延伸而言,有点像几何意义上的面积。
这个扇形面积计算器与圆的面积相同吗？
它不一样,但在许多方面非常相似,并使用相同的想法。例如,一个部门的面积将是总面积的一部分 相应全圆的面积 .
那将是哪一部分呢？例如,如果这个扇形的角度是全周长的四分之一,那么它就是全周长的一部分。 满周率 (90度）,那么这个扇形的面积将正好是圆的全部面积的四分之一）。
为什么会处理部门的领域？
扇形与角度紧密相关,在 度和弧度 在几何学中,你需要处理它们是很常见的,而且有少数有趣的数学结果与它们相关。
与比萨饼片大小有关的部门面积的想法应该足以引起人们的兴趣,是吧？
例子。一个部门的面积
求一个对应于\(\alpha = \pi\)弧度角的扇形的面积,半径为r=3。
解决方案： 我们需要找到一个扇形的面积。我们所掌握的信息是：半径为\(r = 3\),扇形由\(\alpha = \pi\)弧度的角度定义。
让\(A\)为相应扇形的面积,\(r\)为圆的半径。我们有以下的直接比例。
\[\displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{2\pi}{\pi r^2} \]这个直接比例表明扇形的面积\(A\)与扇形的角度成正比。我们可以求解\(A\),我们可以得到
\[ A = \displaystyle \frac{r^2 \alpha}{2}\]现在,剩下的就是插入半径和角度的已知值,所以我们得到。
\[ \begin{array}{ccl} A & = & \displaystyle \frac{r^2\alpha}{2} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{(3)^2 \cdot \pi}{2} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{9}{2}\pi{} \end{array} \]这就结束了计算。我们已经发现,圆的相应扇形的面积是\(\displaystyle A = \frac{9}{2}\pi{}\)。
例子。计算一个部门的面积
现在,计算一个半径为r=2,扇形角为\(\alpha = 45\)度的圆的扇形面积
解决方案： 我们需要找到一个扇形的面积。我们掌握的信息是,半径是\(r = 2\),扇形由\(\alpha = 45\)度的角度定义。所以在这种情况下,角度的单位是度。
让\(A\)为相应扇形的面积,\(r\)为圆的半径。我们有以下的直接比例。
\[ \displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{360}{\pi r^2} \]这个直接比例表明扇形的面积\(A\)与扇形的角度成正比。我们可以求解\(A\),我们可以得到
\[ A = \displaystyle \frac{\pi r^2 \alpha}{360} \]现在,剩下的就是插入半径和角度的已知值,所以我们得到。
\[ \begin{array}{ccl} A & = & \displaystyle \frac{\pi r^2 \alpha}{360} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \displaystyle \frac{\pi \cdot (2)^2 \cdot 45}{360} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\pi{} \end{array} \]这就结束了计算。我们已经发现,圆的相应扇形的面积是\(\displaystyle A = \frac{1}{2}\pi{}\)。
例子。另一种计算方法
当角度为\(2\pi\)弧度时,该扇形的面积是多少。
解决方案： 在这种情况下,\(2\pi\)弧度对应于全圆,所以面积与圆的面积相同,\(A = \pi r^2\)。
