Проверка гипотез: проверка на популяционную дисперсию
Проверка гипотез - это процедура, при которой проверяется утверждение о некотором параметре совокупности. Параметр совокупности - это числовая константа, которая представляет собой o, характеризующее распределение. Как правило, проверка гипотез относится к среднему значению совокупности, обычно обозначаемому как \(\mu\), но на самом деле это может быть любой параметр совокупности, такой как пропорция совокупности \(p\) или стандартное отклонение совокупности \(\sigma\).
В этом случае мы собираемся проанализировать случай проверки гипотезы, включающий стандартное отклонение генеральной совокупности \(\sigma\). Как и в случае с любым типом проверка гипотезы , образец данных необходим для проверки заявления о \(\sigma\). Обратите внимание, что иногда утверждение включает в себя дисперсию совокупности \({{\sigma }^{2}}\), но по сути это то же самое, потому что, например, утверждение о дисперсии совокупности, что \({{\sigma }^{2}}=16\), абсолютно эквивалентно заявлению \(\sigma =4\) о стандартном отклонении совокупности. Поэтому всегда имейте в виду, что утверждение о дисперсии генеральной совокупности всегда сопряжено с утверждением о стандартном отклонении генеральной совокупности, и наоборот.
Процедуры определения нулевой и альтернативной гипотез и типа хвоста для теста применяются точно так же, как и шаги, используемые для проверки утверждения о среднем значении генеральной совокупности (то есть мы формулируем данное утверждение (я) в математической форме и исследуем тип используемого знака).
ПРИМЕР
Предположим, что чиновник из казначейства утверждает, что гроши после 1983 года имеют вес со стандартным отклонением более 0,0230 г. Предположим, что собрана простая случайная выборка из n = 25 пенни до 1983 года, и эта выборка имеет стандартное отклонение 0,03910 г. Используйте уровень значимости 0,05, чтобы проверить утверждение о том, что гроши до 1983 года имеют вес со стандартным отклонением более 0,0230 г. Основываясь на результатах этих выборок, кажется ли, что вес пенни до 1983 года различается больше, чем вес пенни после 1983 года?
КАК МЫ РЕШИТЬ ЭТО?
Нам нужно проверить
\[\begin{align}{H}_{0}: \sigma \le {0.0230} \\ {{H}_{A}}: \sigma > {0.0230} \\ \end{align}\]
Значение статистики хи-квадрат вычисляется как
\[{{\chi }^{2}}=\frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{{{\sigma }^{2}}}=\frac{\left( 25-1 \right)\times {0.03910^2}}{0.0230^2}= {69.36}\]
Верхнее критическое значение для \(\alpha = 0.05\) и df = 24 - это
\[\chi _{upper}^{2}= {36.415}\]
что означает, что мы отвергаем нулевую гипотезу.
Это означает, что у нас есть достаточно доказательств, чтобы поддержать утверждение о том, что вес пенни до 1983 года различается больше, чем вес пенни после 1983 года, на уровне значимости 0,05.