Полиномиальные эксперименты
Примеры задач многочленных экспериментов
Вопрос 1: Менеджер супермаркета "Фермер Джек" интересуется, есть ли предпочтения в день недели, когда покупатели делают покупки. Выборка из 420 семей выявила следующее. Есть ли разница в доле клиентов, предпочитающих каждый день недели, при уровне значимости 0,05? Тест хи-квадрат. Goodness of Fit Равные ожидаемые частоты.
|
День недели |
Количество персон |
|
Monday
|
20
|
|
Tuesday
|
30
|
|
Wednesday
|
20
|
|
Thursday
|
60
|
|
Friday
|
80
|
|
Saturday
|
130
|
|
Sunday
|
80
|
Решение: Необходимо проверить следующую нулевую гипотезу:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
Первая задача - построить таблицу с ожидаемыми значениями. На основании предоставленных данных мы находим:
|
Категория |
Наблюдаемый |
Ожидал |
(fo - fe) ² / fe |
|
понедельник |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26,6667 |
|
вторник |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
15 |
|
среда |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26,6667 |
|
четверг |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
Пятница |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6,6667 |
|
Суббота |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81,6667 |
|
Воскресенье |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6,6667 |
|
Сумма = |
163,3333 |
Это означает, что статистика хи-квадрат вычисляется как
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
Критическое значение для \(\alpha =0.05\) и \(df = 6\) дается выражением
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
и соответствующее значение p равно
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
Поскольку p-значение меньше уровня значимости \(\alpha = {0.05}\), мы отклоняем \({{H}_{0}}\). Это означает, что у нас достаточно доказательств, чтобы отклонить нулевую гипотезу равных пропорций на уровне значимости 0,05.
Вопрос 2: Исследования показали, что людей обычно привлекают те, кто похож на них самих. Одно исследование показало, что люди с непропорционально большей вероятностью вступают в брак с теми, чьи фамилии начинаются с той же последней буквы, что и их собственная (Jones, Pelham, Carvallo, & Mirenberg, 2004). Исследователи начали с изучения записей о браке и записи фамилии каждого жениха и девичьей фамилии каждой невесты. По этим записям можно вычислить вероятность случайного совпадения жениха и невесты, чьи фамилии начинаются с одной буквы. Предположим, что эта вероятность составляет всего 6,5%. Затем выбирается выборка из n 200 супружеских пар и подсчитывается число, у которых одинаковые последние инициалы на момент заключения брака. Результирующие наблюдаемые частоты следующие:
Указывают ли эти даты на то, что количество пар с одинаковыми последними инициалами значительно отличается от того, что можно было бы ожидать, если бы пары были подобраны случайным образом? Тест с a = 0,05.
Решение: Необходимо проверить следующую нулевую гипотезу:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
Первая задача - построить таблицу с ожидаемыми значениями. На основании предоставленных данных мы находим:
|
Категория |
Наблюдаемый |
Ожидал |
(fo - fe) ² / fe |
|
Тот же начальный |
19 |
200 * 0,065 = 13 |
2,7692 |
|
Разные инициалы |
181 |
200 * 0,935 = 187 |
0,1925 |
|
Сумма = |
2,9617 |
Используя эту информацию, мы получаем
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
Критическое значение для \(\alpha =0.05\) и \(df = 1\) дается выражением
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
и соответствующее значение p равно
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
Поскольку p-значение больше уровня значимости \(\alpha = {0.05}\), мы не можем отклонить \({{H}_{0}}\). Это означает, что у нас недостаточно доказательств, чтобы отклонить нулевую гипотезу данных пропорций на уровне значимости 0,05.