Все, что вам нужно знать о распределениях плотности и вероятности
В этом руководстве мы представим ключевые элементы, определяющие распределение вероятностей. Прежде всего, нам необходимо дать широкое и общее определение: распределение вероятностей - это функция, которая описывает вероятностное поведение случайной величины X таким образом, чтобы мы могли вычислить вероятности появления всех возможных ( хорошо сформированные) события. Другими словами, функция вероятности дает нам ясный и однозначный механизм для вычисления вероятностей, связанных с определенной случайной величиной X. Это то, что я хочу, чтобы вы запомнили и запомнили на данный момент.
Обозначение
Теперь немного поговорим об обозначениях. Итак, предположим, что X - случайная величина, и мы работаем с ее распределением. Предположим, что \(f\) - это распределение X. Обычно вы увидите ссылку на \({{f}_{X}}\), где X означает конкретно что \(f\) является распределением X. Это не всегда происходит так, но когда функция распределения имеет нижний индекс, это означает ссылку на фактическую случайную величину, которой она соответствует.
Различие между дискретными и непрерывными случайными величинами
С этого момента нам нужно быть точными в терминах используемых обозначений. Термин "распределение вероятностей" - это своего рода зонтичный термин, который небрежно используется во многих контекстах, но мы постараемся не терять его, чтобы не запутаться. Итак, давайте запишем это в нашем уме: когда случайная величина X является непрерывная случайная величина , то воспользуемся функция плотности \({{f}_{X}}\) для вычисления связанных с ним вероятностей. С другой стороны, когда случайная величина Y является дискретная случайная величина , то воспользуемся функция вероятности \({{g}_{Y}}\) для вычисления связанных с ним вероятностей. Функции плотности и функции вероятности работают по-другому, хотя работают ПОЛНОСТЬЮ аналогичным образом. Я обещаю.
Помните, что дискретные случайные величины используют функции вероятности , а непрерывные случайные величины используют функции плотности . Так, например, случайная величина Пуассона использует функцию вероятности, а биномиальная случайная величина использует функцию вероятности. Или нормально распределенная случайная величина использует функцию плотности.
Свойства, которым должны соответствовать ВСЕ функции вероятности и плотности
Мы обещали, что функции вероятности и плотности работают по-другому, но все же полностью аналогичным образом. Теперь посмотрим, почему.
· Для плотностей
Посмотрите на это: функция плотности \(f\) для непрерывной случайной величины X будет удовлетворять двум следующим условиям:
(1) \(f\left( x \right)\ge 0\) для всех x в \(\mathbb{R}\).
(2) \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx} = 1\)
Давайте не будем слишком зацикливаться на вышеизложенном. Условие (1) говорит, что функция плотности не может быть отрицательной ни в какой точке. Принимает либо положительные значения, либо ноль. Условие (2) гласит, что интеграл функции плотности \(f\) по всей реальной прямой должен быть равен 1. С точки зрения непрофессионала, общая площадь под кривой равна 1.
· Теперь о функциях вероятности
Функция вероятности \(g\) для дискретной случайной величины X будет удовлетворять двум следующим условиям:
(1) \(g\left( x \right)\ge 0\) для всех \(x\in \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\).
(2) \(\sum\limits_{i=1}^{\infty }{g\left( {{a}_{i}} \right)} = 1\)
Обратите внимание, что \(\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) соответствует всем возможным значениям, которые может принимать случайная величина \(X\) (помните, мы предполагаем, что \(X\) является дискретной переменной). Насколько я понимаю, (1) и (2) для функций вероятности выглядят совершенно одинаково (1) и (2) для функций плотности. Фактически, в более сложных темах математики вы могли видеть, что (1) и (2) можно рассматривать как одно и то же для обоих случаев в более общем контексте (теория меры), но мы не будем касаться этого здесь. Я хочу, чтобы вы помнили, что ВСЕ функции вероятности и функция плотности будут удовлетворять этим двум условиям.
ПРИМЕР 1
Пусть X - случайная величина, которая может принимать значения 1, 2, 3 и 4. Is
\[ f\left( x \right) =\displaystyle \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2 } & \text{ for } x=1, \\ \\ \frac{1}{4} & \text{ for } x=2, \\ \\ \frac{1}{8} & \text{ for } x=3, \\ \\ \frac{1}{8} & \text{ for }x=4 \\ \end{array} \right.\]функция вероятности для случайной величины X?
ОТВЕЧАТЬ:
Let us see, we need to see if conditions (1) and (2) are met. First of all, notice that we have \(f\left( x \right)\ge 0\) for all values {1, 2, 3, 4}, which is the set of all possible values that X can take, since \(f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}>\), \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{4}>0\), \(f\left( 3 \right)=\frac{1}{8}>0\) and \(f\left( 4 \right)=\frac{1}{8}>0\). Therefore, condition (1) is met.Теперь посмотрим, выполняется ли условие (2): у нас есть, что
\[\sum\limits_{i=1}^{4}{f\left( {{x}_{i}} \right)}=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+f\left( 4 \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1\]
а значит, и условие (2) выполняется. Итак, окончательный ответ - да, \(f\left( x \right)\) - это функция вероятности для случайной величины \(X\).
ПРИМЕР 2
Рассмотрим функцию \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\) на [0,2], на 0 в другом месте. Является ли \(f\left( x \right)\) функцией плотности?
ОТВЕЧАТЬ:
Посмотрим, нам нужно проверить, выполняются ли условия (1) и (2). Прежде всего, обратите внимание, что у нас есть \(f\left( x \right)\ge 0\) для всех \(x\), начиная с \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\ge 0\) на [0, 2], и \(f=0\) где-то еще. Значит, тогда функция не принимает отрицательных значений, и отныне условие (1) выполняется.
Для условия (2) вычисляем:
\[\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}=\frac{{{2}^{3}}}{3}-\frac{{{0}^{3}}}{3}=\frac{8}{3}>1\]Следовательно, условие (2) не выполняется, и, следовательно, $ f \ left (x \ right) $ НЕ является функцией плотности.
Наконец, как вычислить вероятности с помощью функций плотности и вероятности?
Это последний шаг, который мы искали. Почему мы вообще имеем дело с функциями вероятности и плотности? Что ж, на то есть веская причина, потому что они позволяют нам иметь четкую, недвусмысленную процедуру вычисления вероятностей. Другими словами, как только вы знаете соответствующую плотность (функцию вероятности) случайной величины, тогда вы знаете ВСЕ о случайной величине. Это дает вам СИЛУ.
Красиво, но как ты это делаешь ??? Простой. Как обычно, давайте рассмотрим два случая: для непрерывных случайных величин (с использованием плотностей) и для дискретных случайных величин (с использованием функций вероятности).
Вычисление вероятностей для непрерывных случайных величин
Пусть X - непрерывная случайная величина. Типичная вероятность даже записывается как \(X\in D\), где \(D\subseteq \mathbb{R}\). Например, интересующим событием может быть следующее: "X меньше или равно 5, но больше или равно 1". Это то же самое, что сказать \(X\in \left[ 1,5 \right]\), поэтому в этом случае у нас будет \(D=\left[ 1,5 \right]\). Другими словами, вероятностные события представлены наборами (обычно интервалами, но не обязательно всегда).
Вероятность возникновения события \(X\in D\) равна
\[\Pr \left( X\in D \right)=\int\limits_{D}^{{}}{f\left( x \right)dx}\]Например, если \(D=\left[ 1,5 \right]\), у нас есть
\[\Pr \left( X\in \left[ 1,5 \right] \right)=\Pr \left( 1\le X\le 5 \right)=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}\]Так что это СУПЕР ПРОСТО. Мы интегрируем функцию плотности в диапазоне, определяемом событием, для которого мы хотим вычислить вероятность.
Вычисление вероятностей для дискретных случайных величин
Пусть X - дискретная случайная величина. В этом случае вероятностное событие также выражается как набор значений, только в этом случае событие является подмножеством \(\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\), набора всех возможных значений, которые может принимать \(X\). Итак, пусть \(D\subseteq \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\), вероятность того, что произойдет событие \(X\in D\), равна
\[\Pr \left( X\in D \right)=\Pr \left( X\in \left\{ {{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{k}} \right\} \right)=\sum\limits_{j=1}^{k}{f\left( {{b}_{j}} \right)}\]Например, предположим, что X является биномиальным с параметрами \(N = 10\) и \(p = 0.5\). Затем, если я хочу вычислить вероятность того, что X равно 1 или 2, мне нужно вычислить
\[\Pr \left( X\in \left\{ 1,2 \right\} \right)=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)\]
где \(f\) - соответствующая функция вероятности для биномиального распределения с параметрами \(N = 10\) и \(p = 0.5\). Так что это ТОЖЕ СУПЕР ПРОСТО. Мы суммируем значения функции вероятности, оцененные в точках события, для которого вычисляем вероятность.