Вопрос 1: Тип литиевой батареи оценивается на предмет ее срока службы. Начальник производства произвольно выбрал 10 батарей и записал следующие сроки службы в годах: {3,25, 4,0, 3,1, 3,7, 3,5, 4,2, 4,75, 2,3, 5,5, 3,7}. Ответьте на следующие вопросы, предполагая, что население нормальное.

а. Что означает образец?

б. Что такое стандартное отклонение выборки?

c. Объясните, как среднее значение выборки связано со средним значением генеральной совокупности.

d. Предполагая, что вы не знаете стандартное отклонение генеральной совокупности, постройте

90% доверительный интервал для \(mu\).

е. Предположим, вы знаете, что стандартное отклонение генеральной совокупности составляет \(\sigma\) = 0,7; построить 90% доверительный интервал для \(\sigma\). (Показать формулу или команду калькулятора)

f. Интерпретируйте доверительный интервал в части e.

Решение: (а) Предоставляется следующая таблица

Среднее значение выборки составляет 3,8.

(b) Стандартное отклонение выборки составляет 0,891.

(c) Среднее значение выборки - это точечная оценка среднего значения генеральной совокупности.

(d) Стандартное отклонение населения неизвестно, поэтому мы собираемся использовать t-статистику. Доверительный интервал 90% определяется выражением

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

В этом случае у нас есть \({{t}_{\alpha /2}}\) - двустороннее t-критическое значение для степеней свободы \(\alpha =0.10\) и \(n-1 = 9\). Следовательно, получаем, что

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

Интерпретация состоит в том, что мы на 90% уверены, что фактическое среднее значение генеральной совокупности \(\mu\) содержится в интервале \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\).

(d) Доступно стандартное отклонение генеральной совокупности, поэтому можно использовать нормальное распределение. Таким образом, получаем, что задается доверительный интервал 90%.

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

где \({{z}_{\alpha /2}}\) соответствует двустороннему z-критическому значению для \(\alpha =0.10\). Следовательно, мы находим, что

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(e) Интерпретация состоит в том, что мы на 90% уверены в том, что фактическое среднее значение генеральной совокупности \(\mu\) содержится в интервале (3,4359, 4,1641).

Вопрос 2: Случайная выборка из 56 люминесцентных лампочек имеет средний срок службы 645 часов со стандартным отклонением 31 час. Постройте 95% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности.

Решение: 95% доверительный интервал для среднего по совокупности равен

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

Вопрос 3: Простая случайная выборка должна быть взята из совокупности численностью 1200 человек. Чтобы иметь 90% уверенность в том, что ошибка выборки при оценке \(p\) не превышает 0,03, какой размер выборки будет необходим?

Решение: Доверительный интервал 90% определяется выражением

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

где \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\). Следовательно, погрешность составляет

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Мы хотим, чтобы погрешность была не более 0,03. Это означает, что

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

Но \(\hat{p}\) принимает значения от 0 до 1, поэтому максимальное значение \(\hat{p}(1-\hat{p})\) достигается, когда \(\hat{p}=\frac{1}{2}\). Следовательно, условие, которое нам нужно удовлетворить, это

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

Это означает, что размер выборки должен быть не менее \(n=752\).