Коэффициент корреляции Доверительный интервал с заданной корреляцией

Процесс для этого калькулятора очень похож на обычный калькулятор доверительного интервала для выборочной корреляции , с той лишь разницей, что в этом случае у вас нет выборочного набора данных, а есть сама выборочная корреляция.

Вам просто нужна данная корреляция, чтобы получить доверительный интервал?

Нет, нужно немного больше. Предоставление выборочной корреляции — это здорово, потому что вы можете избавить себя от долгой работы по ее вычислению.

Но еще нужно знать размер выборки \(n\), который использовался для вычисления выборочной корреляции (это количество пар X и Y), а также, естественно, как и для всех доверительных интервалов, нужно чтобы указать уровень достоверности.

Наиболее часто используемый уровень достоверности — 95 % (или 0,95), но вы также можете использовать 90 %, 98 %, 99 % и т. д. и любые другие значения. Другими словами, задаются корреляция и размер выборки, и вы выбираете уровень достоверности.

Как найти коэффициент корреляции и доверительный интервал при заданной корреляции?

Точно так же, как вы делаете с набором данных. Получив корреляцию (которая теперь вам дана), вы преобразуете ее и вычисляете специальное преобразование корреляции (на основе аркгиперболического тангенса).

Затем вы вычисляете пределы доверительного интервала для преобразованной корреляции, а затем преобразуете эти пределы обратно (используя гиперболический тангенс), чтобы получить искомый доверительный интервал.

Пример

Предположим, у вас есть выборочная корреляция \(r = 0.45\) с размером выборки \(n = 18\). Вычислите 99% доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции:

Решение:

Была предоставлена следующая информация:

Sample Correlation \(r\) =	\(0.45\)
Sample Size \(n\) =	\(18\)
Confidence level =	\(99\%\)

Шаг 1: вычислить преобразование выборочного коэффициента корреляции

Следующий шаг состоит в вычислении преобразования (аркгиперболического тангенса) предоставленного нам коэффициента корреляции выборки.

Что мы пытаемся сделать, так это построить вспомогательный доверительный интервал для преобразования корреляции, который соответствует обратному гиперболическому тангенсу, из которого можно получить доверительный интервал для самой корреляции. Получается следующее:

\[r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485\]

Шаг 2: вычислить стандартную ошибку

Теперь вычислим стандартную ошибку \(SE\) для вспомогательного доверительного интервала, используя следующую формулу:

\[ SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258\]

где \(n = 18\) соответствует объему выборки (количеству пар).

Шаг 3: вычислить вспомогательный доверительный интервал

Теперь нам нужно вычислить вспомогательный доверительный интервал, который является доверительным интервалом журнала корреляции.

Требуемый доверительный уровень равен \(99\%\), поэтому соответствующее критическое значение z равно \(z_c = 2.576\), которое получается с помощью таблицы нормального распределения (или вашего калькулятора). С помощью этой информации мы вычисляем нижний и верхний пределы вспомогательного интервала:

С помощью этой информации мы вычисляем нижний и верхний пределы вспомогательного интервала:

\[ L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18\]

и

\[ U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15\]

поэтому вспомогательный доверительный интервал для преобразованной корреляции равен \(CI' = (-0.18, 1.15)\).

Шаг 4: вычислить доверительный интервал для корреляции

Наконец, мы можем вычислить искомое \(99\%\), применив функцию гиперболического тангенса к пределам вспомогательного доверительного интервала, полученного выше:

\[ L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178\]\[ U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818\]

Таким образом, на основе приведенной выше информации коэффициент корреляции выборки равен \(r = 0.45\), а доверительный интервал \(99\%\) для корреляции выборки равен \(CI = (-0.178, 0.818)\).

Интерпретация: Основываясь на результатах, полученных выше, мы \(99\%\) уверены, что интервал \((-0.178, 0.818)\) содержит истинную корреляцию генеральной совокупности \(\rho\).