निरपेक्ष मूल्य
किसी संख्या का निरपेक्ष मान उसके परिमाण से मेल खाता है, उसके चिन्ह पर विचार किए बिना, यदि वह है। ज्यामितीय रूप से, यह वास्तविक रेखा पर एक बिंदु \(x\) से मूल \(0\) की दूरी से मेल खाता है
गणितीय रूप से एक संख्या \(x\) का निरपेक्ष मान \(|x|\) के रूप में दर्शाया जाता है।
इसकी व्याख्या की ज्यामितीय प्रकृति के कारण, बीजगणित और अन्य गणित शाखाओं में निरपेक्ष मूल्य का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और यह पता चलता है कि किसी दी गई संख्या के निरपेक्ष मूल्य की गणना करना बहुत आसान है: आपको बस इतना करना है कि संकेत, अगर कोई संकेत है।
उदाहरण 1
\(-8\) के निरपेक्ष मान की गणना करें।
उत्तर:
जैसा कि हमने ऊपर उल्लेख किया है, किसी संख्या का निरपेक्ष मान उसका परिमाण है, बिना संकेत को ध्यान में रखे। इस स्थिति में, चिन्ह को गिराने पर, हमें पता चलता है कि \(-8\) का निरपेक्ष मान \(8\) है। गणितीय रूप से, हम \(|-8| = 8\) लिखते हैं।
उदाहरण 2
\(4\) के निरपेक्ष मान की गणना करें।
उत्तर:
हम जानते हैं कि किसी संख्या का निरपेक्ष मान उसका परिमाण होता है, बिना चिह्न को ध्यान में रखे। इस मामले में, गिरने का कोई संकेत नहीं है, इसलिए प्राप्त करें कि \(4\) का निरपेक्ष मान केवल \(4\) है। तो, गणितीय रूप से, हम \(|4| = 4\) लिखते हैं।
निरपेक्ष मूल्य की गणितीय परिभाषा
"चिह्न गिराने" का यह विचार पर्याप्त होगा यदि हम केवल संख्याओं के निरपेक्ष मान की गणना करें। लेकिन वास्तव में हम और चीजें करते हैं, जो थोड़ी अधिक जटिल हैं, जैसे पूर्ण मूल्य समीकरण और असमानताएं।
गणितीय रूप से, \(|x|\) की औपचारिक परिभाषा नीचे दी गई है।
\[|x|=\बाएं\{ \आरंभ {सरणी} {cc} x\text{ } & \,\,\,\text{के लिए }x\ge 0 \\ \\ -x और \,\, \text{ }x<0 \\ \end{array} \right.\] के लिएघबराए बिना, आइए हम उपरोक्त परिभाषा का विश्लेषण करें। यह केवल कह रहा है: "दिए गए नंबर \(x\) की जांच करें। यदि \(x\) शून्य से अधिक या बराबर है, तो संख्या का पूर्ण मान संख्या ही होगा। अन्यथा, यदि दी गई संख्या \(x\) ऋणात्मक है, तो संख्या का पूर्ण मान है \(-x\), जो मूल रूप से दी गई संख्या को \(-1\) से गुणा करने के अनुरूप होगा।
तो फिर, \(-8\) के मामले में, यह ऋणात्मक संख्या है, इसलिए निरपेक्ष मान इसे \(-1\) से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए हमें \(|-8|\) = (-1)\times (-8) = 8 मिलता है। बस इतना ही।
अब, यह परिभाषा एक ओवरकिल की तरह लग सकती है। आखिर क्यों न "ड्रॉप द साइन" पद्धति से चिपके रहें? इसका एक कारण है, और यह केवल इसलिए है क्योंकि निरपेक्ष मूल्य को परिभाषित करने का यह तरीका हमें निरपेक्ष मूल्य से जुड़ी कठिन परिस्थितियों को संभालने में मदद करता है।
उदाहरण के लिए, यदि मैं आपसे निम्नलिखित असमानता को हल करने के लिए कहूं: \(|x^2-4x+10| \ge 0\), तो क्या आप इसे कम करने के लिए केवल "चिह्न गिरा" पाएंगे? काफी नहीं। चिंता न करें, हम एक अन्य ट्यूटोरियल में निरपेक्ष मूल्यों से जुड़ी असमानताओं पर चर्चा करते हैं।
केवल यह बताना चाहता था कि हम निरपेक्ष मूल्य की औपचारिक परिभाषा बनाने के लिए काम क्यों करते हैं, और ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी बिंदु पर हमें इसकी आवश्यकता होगी, जब हम निरपेक्ष मूल्यों से जुड़े अधिक जटिल संचालन को संभालते हैं।
निरपेक्ष मूल्य के गुण
ये हैं मुख्य गुण:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\), \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याओं के लिए
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\), \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याओं के लिए
एक वर्ग के वर्गमूल का भ्रम
अंत में, मैं एक लापता संदर्भ के लिए निरपेक्ष मूल्य को श्रेय देना चाहूंगा। हाँ, यह श्रेय का पात्र है। दरअसल, कई बार हम हाई स्कूल या कॉलेज में भी एक गंदा बयान देखते हैं जैसे:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]एक बयान के साथ यह कहते हुए कि "वर्गमूल वर्ग को रद्द कर देता है"। मैं यह नहीं कहूंगा कि यह गलत है, लेकिन मैं कहूंगा कि यह सच है जब \(x\) गैर-ऋणात्मक है। सही कथन होगा
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]और वहां आपके पास निरपेक्ष मूल्य के तारकीय दिखावे में से एक है। समय के साथ आप महसूस करेंगे कि यह आपके विचार से अधिक बार दिखाई देता है।
निरपेक्ष मूल्य के बारे में अधिक
निरपेक्ष मान एक सरल अवधारणा है, और यह वास्तव में उपयोगी है, क्योंकि वास्तविक रेखा में इसकी स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या है: यह किसी भी बिंदु से मूल बिंदु की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है।
यद्यपि किसी संख्या के लिए इसकी गणना करना सरल है, ऐसे अधिक जटिल ऑपरेशन हैं जिनमें निरपेक्ष मान शामिल होते हैं, जैसे कि निरपेक्ष मान समीकरण और असमानताएँ। उन्हें हल करने के लिए एक स्पष्ट रणनीति की आवश्यकता होती है, अन्यथा आप स्टम्प्ड हो सकते हैं।
एक निरपेक्ष मूल्य कैसे खोजें?
आमतौर पर किसी दी गई संख्या का निरपेक्ष मान ज्ञात करना इतना कठिन नहीं होता है: आपको केवल चिह्न पर विचार किए बिना, संख्या का परिमाण प्राप्त करना है। दूसरे शब्दों में, और इसे सरल बनाने के लिए, बस देखें कि क्या कोई संकेत है और इसे छोड़ दें।
जब आप किसी बीजीय व्यंजक के निरपेक्ष मान की गणना कर रहे होते हैं तो प्रक्रिया कम स्पष्ट होती है, इस स्थिति में आपको पहले व्यंजक को एक संख्या तक कम करने की आवश्यकता होती है, और फिर यदि कोई चिह्न है तो उसे छोड़ दें।
निरपेक्ष मूल्य के अनुप्रयोग
निरपेक्ष मान का उपयोग केवल संख्याओं के निरपेक्ष मान की गणना करने से परे है। निरपेक्ष मूल्य में कुछ आंतरिक गुण होते हैं जो इसे एक अमूल्य विश्लेषणात्मक उपकरण बनाते हैं।
उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान कई स्थितियों में बार-बार दिखाई देता है, उदाहरण के लिए \(\sqrt{x^2} = |x|\) के लिए, जिसे आमतौर पर मान लिया जाता है, क्योंकि अधिकांश लोग \(\sqrt{x^2} = x\) का उपयोग करेंगे, जो कि \(x\) नकारात्मक होने पर गलत है।
निरपेक्ष मान ज्यामिति में भी प्रकट होता है (क्योंकि अंतर का निरपेक्ष मान दो बिंदुओं के बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है), एकीकरण में और जब हमें हल करने की आवश्यकता होती है निरपेक्ष मूल्य असमानताएँ .
इसके अलावा, आप इसका इस्तेमाल कर सकते हैं निरपेक्ष मूल्य कैलकुलेटर इस ट्यूटोरियल में सीखी गई अवधारणाओं का अभ्यास करने के लिए। या अधिक सामान्य गणनाओं के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं बीजीय व्यंजक कैलकुलेटर .