السؤال رقم 1: يتم تقييم نوع من بطاريات الليثيوم من حيث طول عمرها. اختار مدير الإنتاج عينة عشوائية من 10 بطاريات وسجل الأعمار التالية بالسنوات: {3.25 , 4.0 , 3.1 , 3.7 , 3.5 , 4.2 , 4.75 , 2.3 , 5.5 , 3.7}. أجب عن الافتراض التالي بأن عدد السكان طبيعي.

أ. ما المقصود بالعينة؟

ب. ما هو نموذج الانحراف المعياري؟

ج. اشرح كيف يرتبط متوسط العينة بمتوسط المحتوى.

د. بافتراض أنك لا تعرف الانحراف المعياري للمجتمع , قم بتكوين a

90٪ فاصل ثقة لـ \(mu\).

ه. افترض أنك تعرف أن الانحراف المعياري للمجتمع هو \(\sigma\) = 0.7 ؛ أنشئ فاصل ثقة بنسبة 90٪ لـ \(\sigma\). (إظهار الصيغة أو أمر الآلة الحاسبة)

F. فسر فترة الثقة في الجزء هـ.

حل: (أ) الجدول التالي مقدم

متوسط العينة هو 3.8

(ب) الانحراف المعياري للعينة هو 0.891.

(ج) متوسط العينة هو تقدير النقاط لمتوسط السكان.

(د) الانحراف المعياري للسكان غير معروف لذلك سنستخدم إحصائيات t. يتم إعطاء فاصل الثقة بنسبة 90٪ بواسطة

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

في هذه الحالة لدينا \({{t}_{\alpha /2}}\) هي القيمة الحرجة t ثنائية الذيل , لـ \(\alpha =0.10\) و \(n-1 = 9\) درجة الحرية. لذلك , حصلنا على ذلك

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

التفسير هو أننا واثقون بنسبة 90٪ من أن متوسط عدد السكان الفعلي \(\mu\) متضمن في الفاصل الزمني \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\).

(د) يتوفر الانحراف المعياري للسكان , لذلك يمكن استخدام التوزيع الطبيعي. لذلك , حصلنا على أن فترة الثقة 90٪ قد أعطيت

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

حيث يتوافق \({{z}_{\alpha /2}}\) مع القيمة الحرجة z ثنائية الطرف لـ \(\alpha =0.10\). لذلك , نجد ذلك

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(هـ) التفسير هو أننا واثقون بنسبة 90٪ من أن متوسط عدد السكان الفعلي \(\mu\) متضمن في الفاصل الزمني (3.4359 , 4.1641).

السؤال 2: يبلغ متوسط عمر العينة العشوائية المكونة من 56 مصباحًا فلورسنتًا 645 ساعة مع انحراف معياري قدره 31 ساعة. أنشئ فاصل ثقة 95٪ لوسط المحتوى.

حل: يتم إعطاء فاصل الثقة 95٪ لمتوسط المحتوى بواسطة

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

السؤال 3: يجب أخذ عينة عشوائية بسيطة من عدد سكان يبلغ 1200. من أجل الحصول على ثقة 90٪ بأن خطأ أخذ العينات في تقدير \(p\) لا يزيد عن 0.03 , ما هو حجم العينة الذي سيكون ضروريًا؟

حل: يتم إعطاء فاصل الثقة بنسبة 90٪ بواسطة

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

حيث \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\). لذلك , فإن هامش الخطأ هو

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

نريد ألا يزيد هامش الخطأ عن 0.03. هذا يعني ذاك

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

لكن \(\hat{p}\) تأخذ قيمًا بين 0 و 1 , لذلك يتم الوصول إلى الحد الأقصى لقيمة \(\hat{p}(1-\hat{p})\) عند \(\hat{p}=\frac{1}{2}\). لذلك , فإن الشرط الذي نحتاج إلى تحقيقه هو

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

هذا يعني أن حجم العينة يجب أن يكون على الأقل \(n=752\).