كل ما تحتاج لمعرفته حول الكثافات والتوزيعات الاحتمالية
في هذا البرنامج التعليمي سوف نقدم العناصر الأساسية التي تحدد توزيع الاحتمالات. بادئ ذي بدء , نحتاج إلى البدء بإعطاء تعريف عام وواسع: توزيع الاحتمالات هو وظيفة تصف السلوك الاحتمالي لمتغير عشوائي X , بطريقة تسمح لنا بحساب احتمالات حدوث كل ما هو ممكن ( تشكيل جيد) الأحداث. بعبارة أخرى , تعطينا دالة الاحتمال آلية واضحة لا لبس فيها لحساب الاحتمالات المرتبطة بمتغير عشوائي معين X. هذا ما أريدك أن تحتفظ به وتضعه في اعتبارك في الوقت الحالي.
الرموز
الآن , دعونا نتحدث قليلا عن التدوين. لذلك , افترض أن X متغير عشوائي ونحن نعمل على توزيعه. لنفترض أن \(f\) هو توزيع X. لذلك , عادةً , سترى مرجعًا إلى \({{f}_{X}}\) , حيث يظهر X يشير إلى خاصة أن \(f\) هو توزيع X. لا يحدث دائمًا على هذا النحو , ولكن عندما تحتوي دالة التوزيع على رمز منخفض , فهذا يعني إحالة المتغير العشوائي الفعلي الذي يتوافق معه.
التمييز بين المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة
يجب أن نكون دقيقين من الآن فصاعدًا من حيث الترميز الذي نستخدمه. مصطلح "توزيع الاحتمالات" هو نوع من المصطلح الشامل الذي يتم استخدامه بلا مبالاة في العديد من السياقات , لكننا سنحاول ألا نتساهل كثيرًا بشأنه , حتى لا يتم الخلط بيننا. لذا , دعنا نسجل هذا في أذهاننا: عندما يكون المتغير العشوائي X هو a متغير عشوائي مستمر , ثم سنستخدم ملف دالة الكثافة \({{f}_{X}}\) لحساب الاحتمالات المرتبطة به. من ناحية أخرى , عندما يكون المتغير العشوائي Y هو a المتغير العشوائي المنفصل , ثم سنستخدم ملف دالة الاحتمال \({{g}_{Y}}\) لحساب الاحتمالات المرتبطة به. تعمل دوال الكثافة ودوال الاحتمال بطريقة مختلفة , على الرغم من أنها تعمل بطريقة مماثلة تمامًا. أعدك.
تذكر , استخدام المتغيرات العشوائية المنفصلة وظائف الاحتمال , واستخدام المتغيرات العشوائية المستمرة وظائف الكثافة . لذلك على سبيل المثال , يستخدم متغير Poisson العشوائي دالة احتمالية ويستخدم المتغير العشوائي ذي الحدين دالة احتمالية. أو يستخدم المتغير العشوائي الموزع عادة دالة الكثافة.
الخصائص التي يجب أن تتحقق من خلال وظائف الاحتمال والكثافة
لقد وعدنا أن وظائف الاحتمالات والكثافات تعمل بطريقة مختلفة ولكنها مماثلة تمامًا. الآن سوف نرى لماذا.
· للكثافات
انظر إلى هذا: دالة الكثافة \(f\) لمتغير عشوائي مستمر X سوف تحقق الشرطين التاليين:
(1) \(f\left( x \right)\ge 0\) لكل x في \(\mathbb{R}\).
(2) \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx} = 1\)
دعونا لا نتعلق كثيرا بما ورد أعلاه. الشرط (1) يقول أن دالة الكثافة لا يمكن أن تكون سالبة في أي وقت. يأخذ إما القيم الموجبة أو الصفر. الشرط (2) يقول أن تكامل دالة الكثافة \(f\) على الخط الحقيقي بالكامل يجب أن يكون 1. وفقًا لمصطلحات الشخص العادي , المساحة الإجمالية تحت المنحنى هي 1.
· الآن لدوال الاحتمال
دالة الاحتمال \(g\) لمتغير عشوائي X منفصل سوف تحقق الشرطين التاليين:
(1) \(g\left( x \right)\ge 0\) للجميع \(x\in \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\).
(2) \(\sum\limits_{i=1}^{\infty }{g\left( {{a}_{i}} \right)} = 1\)
لاحظ أن \(\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) يتوافق مع جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي \(X\) (تذكر , نحن نفترض أن \(X\) متغير منفصل). بقدر ما أستطيع أن أرى , (1) و (2) لوظائف الاحتمال تبدو متشابهة تمامًا (1) و (2) لوظائف الكثافة. في الواقع , في موضوعات الرياضيات الأكثر تقدمًا , يمكنك أن ترى أن (1) و (2) يمكن رؤيتهما على أنهما نفس الشيء تمامًا لكلتا الحالتين , في سياق أكثر عمومية (نظرية القياس) , لكننا لن نتطرق إلى ذلك هنا. ما أريدك أن تضعه في اعتبارك هو أن جميع وظائف الاحتمال ووظيفة الكثافة ستلبي هذين الشرطين.
مثال 1
لنفترض أن X متغير عشوائي يمكنه أخذ القيم 1 و 2 و 3 و 4. Is
\[ f\left( x \right) =\displaystyle \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2 } & \text{ for } x=1, \\ \\ \frac{1}{4} & \text{ for } x=2, \\ \\ \frac{1}{8} & \text{ for } x=3, \\ \\ \frac{1}{8} & \text{ for }x=4 \\ \end{array} \right.\]دالة احتمالية للمتغير العشوائي X؟
إجابه:
Let us see, we need to see if conditions (1) and (2) are met. First of all, notice that we have \(f\left( x \right)\ge 0\) for all values {1, 2, 3, 4}, which is the set of all possible values that X can take, since \(f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}>\), \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{4}>0\), \(f\left( 3 \right)=\frac{1}{8}>0\) and \(f\left( 4 \right)=\frac{1}{8}>0\). Therefore, condition (1) is met.الآن , دعونا نرى ما إذا تم استيفاء الشرط (2): لدينا ذلك
\[\sum\limits_{i=1}^{4}{f\left( {{x}_{i}} \right)}=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+f\left( 4 \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1\]
وبالتالي , تم استيفاء الشرط (2) أيضًا. إذن الإجابة النهائية هي , نعم , \(f\left( x \right)\) هي دالة احتمالية للمتغير العشوائي \(X\).
مثال 2
ضع في اعتبارك الوظيفة \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\) في [0,2] , على 0 في مكان آخر. هل \(f\left( x \right)\) دالة كثافة؟
إجابه:
دعونا نرى , نحن بحاجة لمعرفة ما إذا تم استيفاء الشرطين (1) و (2). بادئ ذي بدء , لاحظ أن لدينا \(f\left( x \right)\ge 0\) للجميع \(x\) منذ \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\ge 0\) في [0 , 2] , و \(f=0\) في أي مكان آخر. إذن لا تأخذ الوظيفة قيمًا سالبة , ومن الآن فصاعدًا يتم استيفاء الشرط (1).
بالنسبة للشرط (2) , نحسب:
\[\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}=\frac{{{2}^{3}}}{3}-\frac{{{0}^{3}}}{3}=\frac{8}{3}>1\]ومن ثم , لم يتم استيفاء الشرط (2) , وبالتالي , فإن $ f \ left (x \ right) $ ليس دالة كثافة.
أخيرًا , كيف نحسب الاحتمالات باستخدام الكثافات ودوال الاحتمالات؟
هذه هي الخطوة الأخيرة التي كنا نبحث عنها. لماذا نتعامل مع دوال الاحتمال والكثافة على أي حال؟ حسنًا , هناك سبب وجيه , لأنه يسمح لنا بالحصول على إجراء واضح لا لبس فيه لحساب الاحتمالات. بمعنى آخر , بمجرد أن تعرف الكثافة المقابلة (دالة الاحتمال) لمتغير عشوائي , فإنك تعرف الكل عن متغير عشوائي. يمنحك القوة.
جميل ولكن كيف تفعل ذلك ؟؟؟ بسيط. كالعادة , دعونا نرى الحالتين , للمتغيرات العشوائية المستمرة (باستخدام الكثافات) والمتغيرات العشوائية المنفصلة (باستخدام وظائف الاحتمال).
احتمالات حساب المتغيرات العشوائية المستمرة
لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر. تتم كتابة الاحتمال النموذجي حتى على النحو التالي \(X\in D\) , حيث \(D\subseteq \mathbb{R}\). على سبيل المثال , يمكن أن يكون أحد الأحداث محل الاهتمام أن "X أقل من أو تساوي 5 لكنها أكبر من أو تساوي 1". هذا مماثل لقول ذلك \(X\in \left[ 1,5 \right]\) , لذلك في هذه الحالة سيكون لدينا \(D=\left[ 1,5 \right]\). بعبارة أخرى , يتم تمثيل الأحداث الاحتمالية بواسطة مجموعات (عادةً فترات , ولكن ليس بالضرورة دائمًا).
احتمال وقوع الحدث \(X\in D\) هو
\[\Pr \left( X\in D \right)=\int\limits_{D}^{{}}{f\left( x \right)dx}\]على سبيل المثال , إذا \(D=\left[ 1,5 \right]\) , لدينا
\[\Pr \left( X\in \left[ 1,5 \right] \right)=\Pr \left( 1\le X\le 5 \right)=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}\]لذا , فهو بسيط للغاية. نقوم بدمج دالة الكثافة على نطاق يحدده الحدث الذي نريد حساب الاحتمال له.
احتمالات حساب المتغيرات العشوائية المنفصلة
لنفترض أن X متغير عشوائي منفصل. في هذه الحالة , يتم التعبير عن حدث الاحتمال أيضًا كمجموعة من القيم , فقط في هذه الحالة , الحدث عبارة عن مجموعة فرعية من \(\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) , وهي مجموعة من جميع القيم المحتملة التي يمكن أخذها بواسطة \(X\). لذلك دعونا \(D\subseteq \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) , احتمال وقوع الحدث \(X\in D\) هو
\[\Pr \left( X\in D \right)=\Pr \left( X\in \left\{ {{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{k}} \right\} \right)=\sum\limits_{j=1}^{k}{f\left( {{b}_{j}} \right)}\]على سبيل المثال , افترض أن X ذات حدين مع المعلمات \(N = 10\) و \(p = 0.5\). بعد ذلك , إذا أردت حساب احتمال أن X تساوي 1 أو 2 , فأنا بحاجة إلى الحساب
\[\Pr \left( X\in \left\{ 1,2 \right\} \right)=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)\]
حيث \(f\) هي دالة الاحتمال المقابلة لتوزيع ذي الحدين مع المعلمات \(N = 10\) و \(p = 0.5\). لذا , فهو بسيط للغاية أيضًا. نجمع قيم دالة الاحتمال التي تم تقييمها عند النقاط في حالة قيامنا بحساب الاحتمال.