تجارب متعددة الحدود
عينة من مشاكل التجارب متعددة الحدود
السؤال رقم 1: يود مدير سوق Farmer Jack Super Market معرفة ما إذا كان هناك تفضيل ليوم الأسبوع الذي يقوم فيه العملاء بالتسوق. وكشفت عينة من 420 أسرة ما يلي. عند مستوى الأهمية 0.05 , هل هناك فرق في نسبة العملاء الذين يفضلون كل يوم من أيام الأسبوع؟ اختبار تشي سكوير. Good of Fit يساوي الترددات المتوقعة.
|
يوم الأسبوع |
عدد الأشخاص |
|
Monday
|
20
|
|
Tuesday
|
30
|
|
Wednesday
|
20
|
|
Thursday
|
60
|
|
Friday
|
80
|
|
Saturday
|
130
|
|
Sunday
|
80
|
حل: يجب اختبار الفرضية الصفرية التالية:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
المهمة الأولى هي بناء الجدول بالقيم المتوقعة. بناءً على البيانات المقدمة , نجد:
|
فئة |
ملاحظ |
متوقع |
(fo - fe)²/fe |
|
الإثنين |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
يوم الثلاثاء |
30 |
420 * 1/7 = 60 |
15 |
|
الأربعاء |
20 |
420 * 1/7 = 60 |
26.6667 |
|
يوم الخميس |
60 |
420 * 1/7 = 60 |
0 |
|
جمعة |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
السبت |
130 |
420 * 1/7 = 60 |
81.6667 |
|
يوم الأحد |
80 |
420 * 1/7 = 60 |
6.6667 |
|
مجموع = |
163.3333 |
هذا يعني أن إحصائيات Chi-Square يتم حسابها على أنها
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
القيمة الحرجة لـ \(\alpha =0.05\) و \(df = 6\) مُعطاة بواسطة
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
والقيمة الاحتمالية المقابلة هي
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
نظرًا لأن القيمة p أقل من مستوى الأهمية \(\alpha = {0.05}\) , فإننا نرفض \({{H}_{0}}\). هذا يعني أن لدينا أدلة كافية لرفض فرضية العدم ذات النسب المتساوية , عند مستوى الأهمية 0.05.
السؤال 2: أظهرت الأبحاث أن الناس يميلون إلى الانجذاب إلى آخرين يشبهونهم. أظهرت إحدى الدراسات أن الأفراد أكثر عرضة للزواج من أولئك الذين لديهم ألقاب تبدأ بنفس الحرف الأخير مثل حرفهم (Jones, Pelham, Carvallo, & Mirenberg, 2004). بدأ الباحثون بالاطلاع على سجلات الزواج وتسجيل لقب كل عريس واسم كل عروس قبل الزواج. من هذه السجلات يمكن حساب احتمال مطابقة العروس والعريس عشوائياً تبدأ أسماؤهم الأخيرة بالحرف نفسه. افترض أن هذا الاحتمال 6.5٪ فقط. بعد ذلك , يتم اختيار عينة مكونة من 200 شخص متزوج ويتم احتساب عدد الذين شاركوا نفس الاسم الأخير وقت زواجهم. الترددات الناتجة الملحوظة هي كما يلي:
هل تشير هذه التواريخ إلى أن عدد الأزواج الذين لديهم نفس الاسم الأخير يختلف اختلافًا كبيرًا وهو ما كان متوقعًا إذا تمت مطابقة الأزواج بشكل عشوائي؟ اختبار مع = .05.
حل: يجب اختبار الفرضية الصفرية التالية:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
المهمة الأولى هي بناء الجدول بالقيم المتوقعة. بناءً على البيانات المقدمة , نجد:
|
فئة |
ملاحظ |
متوقع |
(fo - fe)²/fe |
|
نفس الحرف الأول |
19 |
200 * 0.065 = 13 |
2.7692 |
|
الأحرف الأولى المختلفة |
181 |
200 * 0.935 = 187 |
0.1925 |
|
مجموع = |
2.9617 |
باستخدام تلك المعلومات , نحصل عليها
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
القيمة الحرجة لـ \(\alpha =0.05\) و \(df = 1\) مُعطاة بواسطة
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
والقيمة الاحتمالية المقابلة هي
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
نظرًا لأن القيمة p أكبر من مستوى الأهمية \(\alpha = {0.05}\) , فإننا نفشل في رفض \({{H}_{0}}\). هذا يعني أنه ليس لدينا أدلة كافية لرفض فرضية العدم للنسب المعطاة , عند مستوى الأهمية 0.05.