नमूना अनुपात के नमूना वितरण के बारे में अधिक जानकारी

नमूना अनुपात को \(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां \(X\) अनुकूल मामलों की संख्या है और \(n\) नमूना आकार है। इस स्थिति को \(n\) क्रमिक बर्नौली परीक्षण \(X_i\) के रूप में माना जा सकता है, जैसे कि \(\Pr(X_i = 1) = p\) और \(\Pr(X_i = 0) = 1-p\)। इस संदर्भ में, अनुकूल मामलों की संख्या \(\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i\) है, और नमूना अनुपात \(\hat p\) औसत \(X_1, X_2, ...., X_n\) द्वारा प्राप्त किया जाता है।यह इंगित करता है कि जब नमूना आकार काफी बड़ा होता है तो हम केंद्रीय सीमा प्रमेय के आधार पर सामान्य अनुमान का उपयोग कर सकते हैं।

नमूना अनुपात की औसत और मानक त्रुटि हैं:

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

इसलिए, जब नमूना आकार काफी बड़ा होता है, और \(np \geq 10\) और \(n(1-p) \geq 10\), तो हम संभावना \(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\) द्वारा अनुमानित कर सकते हैं

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

एक निरंतरता सुधार कारक \(cf = \frac{0.5}{n}\) को इस तथ्य की भरपाई करने के लिए परंपरागत है कि अंतर्निहित वितरण अलग है, खासकर जब नमूना आकार पर्याप्त रूप से बड़ा नहीं होता है।यदि आप नमूना के नमूने के वितरण की तलाश में हैं, तो उपयोग करें यह कैलकुलेटर बजाय