المزيد عن المشتقات (الجزء 2)

الرموز: يُشار أيضًا إلى مشتق \(f'(x)\) للدالة \(f(x)\)

\[\frac{df}{dx} (x)\]

يأتي هذا الترميز من حقيقة أنه عندما تحسب المشتق , فإنك تحسب

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

عادةً ما يشار إلى المصطلح \(f(x)-f(x_0)\) باسم \(\Delta f\) , ويشار إلى المصطلح \(x-x_0\) باسم \(\Delta x\). لذلك , في بعض الأحيان , ستجد التعريف في بعض الكتب (خاصة كتب الفيزياء)

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\] Theorems to calculate Derivatives

حان الوقت الآن لإدخال المدفعية الثقيلة. من الناحية العملية , لن تحسب الحد

\[f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

غالبا. من المهم جدًا معرفة كيفية القيام بذلك بهذه الطريقة , ولكن في معظم الأحيان لن يكون ذلك ضروريًا.

مثال: احسب مشتق الدالة \(f(x)=x^3+x^2\).

حل: ماذا نفعل هنا هل نطبق النهاية لحساب المشتق ؟؟ حسنًا , يجب أن يكون خط تفكيرك كما يلي: الدالة \(f(x) = x^3+x^2\) تتوافق مع مجموع \(x^3\) و \(x^2\). الحدس هو أنه إذا كان بإمكاني حساب مشتق كل مصطلح بشكل منفصل , ثم يمكنني تبسيط العملية الحسابية.

بمعنى آخر , إذا كنت أعرف ما هو مشتق \(x^3\) , وإذا كنت أعرف أيضًا مشتق \(x^2\) , فيجب أن أعرف ما هو مشتق __XYZ_C __.....

\(\star\) في الحقيقة , أنت تفعل . لدينا النظرية التالية:

نظرية: مشتق مجموع دالتين

افترض أن \(f(x)\) و \(g(x)\) هما قابل للتفاضل عند \(x_0\) (هذا يعني أن المشتق موجود في تلك النقطة). ثم لدينا ذلك

\[ \frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{df}{dx}(x) + \frac{dg}{dx}(x) \]

بمعنى آخر , مشتق المجموع هو مجموع المشتقات (هذه ليست كلمات فارغة , إنها تصف النتيجة بدقة حقًا). عادة ما يشار إلى هذا باسم خاصية الخطية للمشتق

نعرض الآن نتيجة ستساعدنا في حساب الكثير من المشتقات:

نظرية: ينطبق ما يلي على جميع \(n\ne 0\):

\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \]

دليل: لن نفعل أي شيء عميقًا جدًا , فقط لإنقاذك من الملل القاتل , لكن دعنا نفعل هذا فقط لنشعر به. حسب التعريف

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{x^n- x_0^n}{x-x_0}\] \[= \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{(x- x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0 + ...+ xx_0^{n-2} +x_0^{n-1})}{x-x_0} = \displaystyle\lim_{x\to x_0}(x^n+x^{n-1}x_0 + ...+ xx_0^n +x_0^n) \] \[ = x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_0 + ...+ x_0x_0^{n-2} +x_0^{n-1} = n x_0^{n-1}\]

لذا , لنعد إلى مشكلة إيجاد مشتق \(f(x) = x^3+x^2\). باستخدام خطية المشتقات نجد ذلك

\[\frac{d}{dx}(x^3+x^2) = \frac{d}{dx} x^3 + \frac{d}{dx}x^2 = 3x^2 + 2x\]

دعنا نتذكر أن \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\) , لذا بتطبيق ذلك على الحالة \(n=3\) و \(n=2\) على التوالي نحصل على النتيجة السابقة. يمكن كتابة الخاصية الخطية بطريقة أكثر عمومية:

نظرية: افترض أن \(f(x)\) و \(g(x)\) هما قابل للتفاضل في \(x_0\) و \(a\) و \(b\) ثوابت. ثم

\[ \frac{d}{dx}(af(x)+ bg(x)) = a\frac{df}{dx}(x) + b\frac{dg}{dx}(x) \]

نعرض أدناه مثالاً على كيفية تطبيق هذه النتيجة:

مثال: احسب مشتق الدالة \(f(x)=3 x^3+2 x^{1/2}\).

حل: باستخدام الخطية , نحصل على ذلك